# 双一次変換

{\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}

（ただし${\displaystyle T\ }$は離散時間フィルタのサンプル時間でサンプリング周波数の逆数）により近似できる。上の式を${\displaystyle s\ }$について解くか、${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)\ \ }$を同様に近似すると、この変換の逆写像とその双一次近似は

{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\tanh ^{-1}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}

となる。双一次変換とは、この一次近似を用い連続時間の伝達関数${\displaystyle H_{a}(s)\ }$において

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$とし
${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ }$とするものである。

${\displaystyle z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}}$

## 周波数歪み

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ }$

 ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega T})\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {e^{j\omega T}-1}{e^{j\omega T}+1}}\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{e^{j\omega T/2}\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left({\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)}}\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\left(e^{j\omega T/2}-e^{-j\omega T/2}\right)/(2j)}{\left(e^{j\omega T/2}+e^{-j\omega T/2}\right)/2}}\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot {\frac {\sin(\omega T/2)}{\cos(\omega T/2)}}\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left(j{\frac {2}{T}}\cdot \tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\right)\ }$ ${\displaystyle =H_{a}\left(j\omega _{a}\right)\ }$

となり、これは離散時間フィルタにおいてz平面内の単位円上のすべての点、${\displaystyle z=e^{j\omega T}\ }$ が連続時間フィルタのs平面上の${\displaystyle j\omega \ }$ 軸、${\displaystyle s=j\omega _{a}\ }$ に写像されることを示している。よって双一次変換での離散時間周波数から連続時間周波数への写像は

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)}$

となり、その逆は

${\displaystyle \omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right)}$

となる。

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty \ }$

は周波数区間

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega <+{\frac {\pi }{T}}.\ }$

に写像される。 連続時間フィルタの周波数${\displaystyle \omega _{a}=0\ }$ なら対応する離散時間フィルタの周波数${\displaystyle \omega =0\ }$ となり、連続時間フィルタの周波数${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty \ }$ なら対応する離散時間フィルタの周波数${\displaystyle \omega =\pm \pi /T\ }$ となる。

さらに${\displaystyle \omega _{a}\ }$ ${\displaystyle \omega \ }$ の関係は非線形であり、これは周波数歪みと呼ばれている。 連続時間フィルタの仕様として与えられている周波数（遮断周波数中心周波数）を、この ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega {\frac {T}{2}}\right)\ }$  によってあらかじめ補正して設計することもでき、これはプリワーピングと呼ばれる。 この周波数歪みによる主な利点は、インパルス不変法で見られるような周波数応答のエイリアシングが発生しないことである。