合同辺平行線点

幾何学において、合同辺平行線点（ごうどうへんへいこうせんてん^[1]、英:equal parallelians point,congruent parallelians point）は三角形の中心の一つである^[2]^[3]。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(192) として登録されている^[4] 。1961年にピーター・イフのノートで言及された。

定義

基準三角形

△ ABC

△ ABC

のそれぞれの辺に平行で、長さの等しい線分

$△ ABC$ のそれぞれの辺に平行で、長さが等しく、さらに一点で交わる線分はただ一組存在する^[5]。この点を合同辺平行線点という^[2]。これら線分の長さは ${\frac {2abc}{ab+bc+ca}}$ である^[3]。

合同辺平行線点の重心座標は以下の式で与えられる。ただしa,b,cは三角形の辺長である。

$ca+ab-bc\ :\ ab+bc-ca\ :\ bc+ca-ab$

基準三角形

△ ABC

△ ABC

A", B", C"

で交わるとする)

△ ABC

△ A'B'C'

合同辺平行線点を通る線分

A'A", B'B", C'C"

)

$△ A'B'C'$ を $△ ABC$ の反中点三角形とする。さらに $A, B, C$ の内角の二等分線と対辺の交点を $A", B", C"$ とすると、 $A'A", B'B", C'C"$ は合同辺平行線点で交わる^[3]。

^ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年6月1日閲覧。
^ ^a ^b Kimberling. “Equal Parallelians Point”. 2012年5月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月12日閲覧。
^ ^a ^b ^c Weisstein. “Equal Parallelians Point”. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 2012年6月12日閲覧。
^ Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年6月12日閲覧。
^ Sabrina Bier (2001). “Equilateral Triangles Intercepted by Oriented Parallelians”. Forum Geometricorum (Vol 1): 25-32.