数学における多重ガンマ関数(たじゅうガンマかんすう、: multiple gamma function はオイラーのガンマ関数バーンズのG函数の一般化である。二重ガンマ関数は Barnes (1901) において導入された。同論文の締めくくりにおいて多重ガンマ関数の存在性が示唆され、実際に Barnes (1904) においてさらなる研究が行われた。

二重ガンマ関数 q-ガンマ関数英語版と、三重ガンマ関数 楕円ガンマ関数英語版とそれぞれ密接な関係がある。

定義編集

  において、

 

として多重ガンマ関数を定める。ここで  バーンズのゼータ函数である(バーンズによるオリジナルの定義からは定数倍のズレが有る)。

性質編集

  の有理型関数として見たとき、   は零点を持たず、   に一位の極を持つ(ここで   は非負整数)。exp(多項式)という因子を除いて、  はこれら有限位数の零点と極を持つ唯一の有理型関数である。

N=0,1 での例を挙げる:

  •  
  •  

以下は多重ガンマ関数の周期性と呼ばれる性質であり、通常のガンマ関数における関係式 Γ(x+1)=xΓ(x) の一般化であるといえる。

  •  

無限積表示編集

多重ガンマ関数はヴァイエルシュトラス型の無限積表示を持ち、有理型関数である様子がはっきりと見て取れる。また、この表示からは極のありかも一目瞭然である。 二重ガンマ関数の場合は以下のようになる: [1]

 

ここで、   と独立な係数

 
 

であり、    における位数   の留数である。

また、上記のものとは別に新谷型と呼ばれる無限積表示も Katayama & Ohtsuki (1998) において発見されている。

漸近表示編集

通常のガンマ関数におけるスターリングの公式の類似として、多重ガンマ関数にも漸近表示が存在する:

 

この表示は Katayama & Ohtsuki (1998) において示された。

一般正規多重ガンマ関数編集

多重ガンマ関数の定義は所謂ゼータ函数正規化の発想によるものである。ミルナーの深い正規積を用いて多重ガンマ関数を一般化したものを一般正規多重ガンマ関数という:

 

一般正規多重ガンマ関数に対しては、オイラー=ルジャンドルの倍角公式およびラーベの公式の一般化が発見されている。

二重ガンマ関数と共形場理論編集

 ,  において、函数

 

は変換   のもとで不変であり、関係式

 

を満たす。また、  において積分表示

 

を満たす。  から二つの関数を構成する:

 

これは関係式

 

とこれらを   とした別の関係式を満たす。また、  における積分表示も存在する:

 
 

函数  二次元共形場理論の相関関数にあらわれ、パラメータ  ヴィラソロ代数中心電荷と関係している[2]。とくに、リウヴィル場理論 における3点相関関数は   で書ける。

脚注編集

  1. ^ Spreafico, Mauro (2009). “On the Barnes double zeta and Gamma functions”. Journal of Number Theory 129 (9): 2035–2063. doi:10.1016/j.jnt.2009.03.005. 
  2. ^ Ponsot, B., Recent progress on Liouville Field Theory, arXiv:hep-th/0301193, Bibcode2003PhDT.......180P 

参考文献編集

  • Barnes, E. W. (1901), “The Theory of the Double Gamma Function”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character (The Royal Society) 196: 265–387, Bibcode1901RSPTA.196..265B, doi:10.1098/rsta.1901.0006, ISSN 0264-3952, JSTOR 90809, https://jstor.org/stable/90809 
  • Barnes, E. W. (1904), “On the theory of the multiple gamma function”, Trans. Camb. Philos. Soc. 19: 374–425 
  • Katayama, Koji; Ohtsuki, Makoto (1998), “On The Multiple Gamma Function”, Tokyo Journal of Mathematics 21 (1): 159-182 

関連文献編集