多項分布(たこうぶんぷ、: multinomial distribution)は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

多項分布
確率質量関数
累積分布関数
母数 試行回数 整数
各試行の確率 ()

確率質量関数
期待値
分散
モーメント母関数
特性関数 where
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二項分布は、n 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個(k 個)の値をとり、それぞれの値をとる確率は p1, …, pk(すなわち、i = 1, …, k について pi ≥ 0 であり、 が成り立つ)であり、n 回の独立した試行が行われる。確率変数 Xin 回の試行で i という数が出る回数を示す。X = (X1, …, Xk)np をパラメータとする多項分布に従う。

確率質量関数編集

多項分布の確率質量関数は次の通りである。

 

ここで、x1, …, xk は負でない整数である。

属性編集

期待値は次の通り。

 

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

 

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

 

ここで、ij である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、N が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、k × k の非負値定符号行列であり、行列の階数k − 1 である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

 

この表現では標本サイズ n が出現しない点に注意されたい。

k個の要素それぞれは npii 番目の要素に対応する確率)をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合   である。その要素数は   である(重複組合せ)。

関連する分布編集

関連項目編集

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