数学、特に集合論モデル理論において定常集合(ていじょうしゅうごう、: stationary set)という言葉には少なくとも三つの異なる意味がある。:

古典的な意味付け編集

 を非可算な共終数を持つ基数とするとき、部分集合  の いかなるclub集合とも交わるならば、  内の定常集合という。 定常でない集合は非定常集合という。

 が定常で がclubなら、その共通部分 はまた定常である。 それは、 をclub集合とすると はclub(二つのclub集合の共通部分はclub)であり、  は空でない集合となる。 ゆえに、 は定常である。

非可算な共終数に制限したのは無意味なものを避けるためである。 の共終数が可算であったとして、   内で定常であるのは  内で有界であることと同値である。 特に、 の共終数が  であるなら任意の二つの の定常集合の共通部分は定常である。

これは の共終数が非可算なときは起こらない。 実際、 正則基数 をその中の定常集合とすると、  個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ英語版によるもので、 後続型基数のとき、 このことはスタニスワフ・ウラムによって、 いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。

イェフによる意味付け編集

 の部分集合にも定常集合の概念は定義される。 ここで、  のことである。  が定常であるとは、前者と同様にSが全てのclub集合と交わることをいう。  の部分集合がclubであるとは、 の下で非有界かつ、  以下の長さの鎖の合併の下で閉じていることをいう。 この二つの定常集合の概念は一般には異なるが、 とすると  が定常であることと、   の中で定常であることは一致する。

フォドアの補題はこの文脈でも同様に流用できる。

一般化された意味付け編集

三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。 この概念はM. Magidor英語版, M. Foreman英語版, サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。

 Xを空でない集合とする。 がclubであるとは、 関数  を満たすものが存在することを言う。 ここで  の有限部分集合全体による集合のことである。

  で定常であるとは、Sが の全てのclub集合と交わることを言う。

モデル理論との関連を見る。 を対象領域を とする可算な言語上のストラクチャー、   へのスコーレム関数であるとすると、定常集合  の初等部分構造をもつ。 実際、 が定常であることは、任意のこのようなストラクチャー に対して、 の初等部分構造が に属することと同値である。

関連項目編集

参考文献編集

Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS

Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 File at [1]

外部リンク編集