論理学において、含意命題対偶とは、条件をともに否定し、さらにその含意の向きをにしたものである。明示的に書けば、命題「AならばBである」の対偶は、「BでないならばAでない」となる。命題とその対偶の論理的な真偽は常に一致する。したがって、ある命題が真ならばその対偶も真であるし、偽の場合もしかりである[1]

対偶論法 (たいぐうろんぽう、 英: proof by contraposition) とは、証明で用いる推論規則の一つである。対偶論法では、対偶を用いて命題の真偽を推論する[2] 。言い方を変えると、「AならばBである」という結論を、「BでないならばAでない」から導く推論規則である。

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x を任意の整数とする。

命題:  x2偶数ならば、x は偶数である。

この命題に直接証明英語版を与えることはできるけれども、ここでは命題の対偶を証明することにする。上の命題の対偶は以下である。

x が偶数でないならば、x2 も偶数でない。

この命題は以下のように証明できる。x を偶数でないとする。その場合 x は奇数である。2つの奇数の積は奇数であるから、x2 = x·x も奇数になる。したがって、x2 は偶数ではない。

対偶を証明したことで、元の命題も正しいと言えることになる[3]

関連項目編集

脚注編集

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  1. ^ Regents Exam Prep, contrapositive Archived 2012-09-09 at Archive.is definition
  2. ^ Larry Cusick's (CSU-Fresno) How to write proofs tutorial
  3. ^ Franklin, J.; A. Daoud (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Sydney: Kew Books. ISBN 0-646-54509-4. http://www.maths.unsw.edu.au/~jim/proofs.html  (p. 50).