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指数関数の原始関数の一覧
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"指数関数の原始関数の一覧"
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(
2013年10月
)
本稿は
指数関数
を含む式の
原始関数
の一覧である。
不定積分
編集
以下は不定積分の一覧である。右辺につく
積分定数
は省略している。
∫
e
x
d
x
=
e
x
{\displaystyle \int e^{x}\;\mathrm {d} x=e^{x}}
∫
f
′
(
x
)
e
f
(
x
)
d
x
=
e
f
(
x
)
{\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\;\mathrm {d} x=e^{f(x)}}
∫
e
c
x
d
x
=
1
c
e
c
x
{\displaystyle \int e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫
a
c
x
d
x
=
1
c
⋅
ln
a
a
c
x
{\displaystyle \int a^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c\cdot \ln a}}a^{cx}}
(
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,\ a\neq 1}
)
∫
x
e
c
x
d
x
=
e
c
x
c
2
(
c
x
−
1
)
{\displaystyle \int xe^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
∫
x
2
e
c
x
d
x
=
e
c
x
(
x
2
c
−
2
x
c
2
+
2
c
3
)
{\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;\mathrm {d} x=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫
x
n
e
c
x
d
x
=
1
c
x
n
e
c
x
−
n
c
∫
x
n
−
1
e
c
x
d
x
=
(
∂
∂
c
)
n
e
c
x
c
{\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}\mathrm {d} x=\left({\frac {\partial }{\partial c}}\right)^{n}{\frac {e^{cx}}{c}}}
∫
e
c
x
x
d
x
=
ln
|
x
|
+
∑
n
=
1
∞
(
c
x
)
n
n
⋅
n
!
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x}}\;\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{n}}{n\cdot n!}}}
∫
e
c
x
x
n
d
x
=
1
n
−
1
(
−
e
c
x
x
n
−
1
+
c
∫
e
c
x
x
n
−
1
d
x
)
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}}{x^{n}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,\mathrm {d} x\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
e
c
x
ln
x
d
x
=
1
c
(
e
c
x
ln
|
x
|
−
Ei
(
c
x
)
)
{\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\left(e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)\right)}
∫
e
c
x
sin
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
∫
e
c
x
cos
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
∫
e
c
x
sin
n
x
d
x
=
e
c
x
sin
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
sin
x
−
n
cos
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
∫
e
c
x
cos
n
x
d
x
=
e
c
x
cos
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
cos
x
+
n
sin
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;\mathrm {d} x={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;\mathrm {d} x}
∫
x
e
c
x
2
d
x
=
1
2
c
e
c
x
2
{\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
∫
e
−
c
x
2
d
x
=
π
4
c
erf
(
c
x
)
{\displaystyle \int e^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{4c}}}\operatorname {erf} ({\sqrt {c}}x)}
(
erf
{\displaystyle \operatorname {erf} }
は
誤差関数
)
∫
x
e
−
c
x
2
d
x
=
−
1
2
c
e
−
c
x
2
{\displaystyle \int xe^{-cx^{2}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2c}}e^{-cx^{2}}}
∫
e
−
x
2
x
2
d
x
=
−
e
−
x
2
x
−
π
e
r
f
(
x
)
{\displaystyle \int {\frac {e^{-x^{2}}}{x^{2}}}\;\mathrm {d} x=-{\frac {e^{-x^{2}}}{x}}-{\sqrt {\pi }}\mathrm {erf} (x)}
∫
1
σ
2
π
e
−
1
2
(
x
−
μ
σ
)
2
d
x
=
1
2
(
erf
x
−
μ
σ
2
)
{\displaystyle \int {{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}
∫
e
x
2
d
x
=
e
x
2
(
∑
j
=
0
n
−
1
c
2
j
1
x
2
j
+
1
)
+
(
2
n
−
1
)
c
2
n
−
2
∫
e
x
2
x
2
n
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int e^{x^{2}}\,\mathrm {d} x=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;\mathrm {d} x\quad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}}
ここで
c
2
j
=
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
j
−
1
)
2
j
+
1
=
(
2
j
)
!
j
!
2
2
j
+
1
{\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {(2j)\,!}{j!\,2^{2j+1}}}}
とする。
∫
x
x
⋅
⋅
x
⏟
m
d
x
=
∫
x
↑↑
m
d
x
=
∫
x
→
m
→
2
d
x
=
∑
n
=
0
m
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
n
−
1
n
!
Γ
(
n
+
1
,
−
ln
x
)
+
∑
n
=
m
+
1
∞
(
−
1
)
n
a
m
n
Γ
(
n
+
1
,
−
ln
x
)
(for
x
>
0
)
{\displaystyle {\int \underbrace {x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{m}\,dx=\int x\uparrow \uparrow m\,dx=\int x\to m\to 2\,dx=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}(n+1)^{n-1}}{n!}}\Gamma (n+1,-\ln x)+\sum _{n=m+1}^{\infty }(-1)^{n}a_{mn}\Gamma (n+1,-\ln x)\qquad {\mbox{(for }}x>0{\mbox{)}}}}
ここで
a
m
n
=
{
1
n
=
0
,
1
n
!
m
=
1
,
1
n
∑
j
=
1
n
j
a
m
,
n
−
j
a
m
−
1
,
j
−
1
otherwise
{\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}1&n=0,\\{\frac {1}{n!}}m=1,\\{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}ja_{m,n-j}a_{m-1,j-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
Γ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Gamma (x,y)}
は
ガンマ関数
、
↑
{\displaystyle \uparrow }
は
クヌースの矢印表記
、
→
{\displaystyle \to }
は
コンウェイのチェーン表記
∫
1
a
e
λ
x
+
b
d
x
=
x
b
−
1
b
λ
ln
(
a
e
λ
x
+
b
)
{\displaystyle \int {\frac {1}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{b}}-{\frac {1}{b\lambda }}\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\,}
(
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
,
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
, かつ
a
e
λ
x
+
b
>
0
{\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,}
)
∫
e
2
λ
x
a
e
λ
x
+
b
d
x
=
1
a
2
λ
[
a
e
λ
x
+
b
−
b
ln
(
a
e
λ
x
+
b
)
]
{\displaystyle \int {\frac {e^{2\lambda x}}{ae^{\lambda x}+b}}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}\lambda }}\left[ae^{\lambda x}+b-b\ln \left(ae^{\lambda x}+b\right)\right]\,}
(
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
,
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \neq 0}
, かつ
a
e
λ
x
+
b
>
0
.
{\displaystyle ae^{\lambda x}+b>0\,.}
)
定積分
編集
∫
0
1
e
x
⋅
ln
a
+
(
1
−
x
)
⋅
ln
b
d
x
=
∫
0
1
(
a
b
)
x
⋅
b
d
x
=
∫
0
1
a
x
⋅
b
1
−
x
d
x
=
a
−
b
ln
a
−
ln
b
{\displaystyle \int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
(
a
>
0
,
b
>
0
,
a
≠
b
{\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b}
)
∫
0
∞
e
a
x
d
x
=
1
−
a
(
Re
(
a
)
<
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{-a}}\quad (\operatorname {Re} (a)<0)}
∫
0
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
1
2
π
a
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
(
ガウス積分
)
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
π
a
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
e
−
2
b
x
d
x
=
π
a
e
b
2
a
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)}
(
ガウス関数
の積分)
∫
−
∞
∞
x
e
−
a
(
x
−
b
)
2
d
x
=
b
π
a
(
Re
(
a
)
>
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\quad (\operatorname {Re} (a)>0)}
∫
−
∞
∞
x
2
e
−
a
x
2
d
x
=
1
2
π
a
3
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)}
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
2
d
x
=
{
1
2
Γ
(
n
+
1
2
)
/
a
n
+
1
2
(
n
>
−
1
,
a
>
0
)
(
2
k
−
1
)
!
!
2
k
+
1
a
k
π
a
(
n
=
2
k
,
k
integer
,
a
>
0
)
k
!
2
a
k
+
1
(
n
=
2
k
+
1
,
k
integer
,
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{integer}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{integer}},a>0)\end{cases}}}
(!! は
二重階乗
)
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
d
x
=
{
Γ
(
n
+
1
)
a
n
+
1
(
n
>
−
1
,
a
>
0
)
n
!
a
n
+
1
(
n
=
0
,
1
,
2
,
…
,
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}}
∫
0
∞
e
−
a
x
b
d
x
=
1
b
a
−
1
b
Γ
(
1
b
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {1}{b}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right)}
∫
0
∞
x
n
e
−
a
x
b
d
x
=
1
b
a
−
n
+
1
b
Γ
(
n
+
1
b
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {1}{b}}\ a^{-{\frac {n+1}{b}}}\,\Gamma \left({\frac {n+1}{b}}\right)}
∫
0
∞
e
−
a
x
sin
b
x
d
x
=
b
a
2
+
b
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
∫
0
∞
e
−
a
x
cos
b
x
d
x
=
a
a
2
+
b
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
∫
0
∞
x
e
−
a
x
sin
b
x
d
x
=
2
a
b
(
a
2
+
b
2
)
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
∫
0
∞
x
e
−
a
x
cos
b
x
d
x
=
a
2
−
b
2
(
a
2
+
b
2
)
2
(
a
>
0
)
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}
(
I
0
{\displaystyle I_{0}}
は
変形ベッセル関数
)
∫
0
2
π
e
x
cos
θ
+
y
sin
θ
d
θ
=
2
π
I
0
(
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
脚注
編集
Wolfram Mathematica Online Integrator
V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik