斜交座標系(2次元)

斜交座標系(しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system)とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系編集

2本の数直線 x, y が共通の原点をもち、なす角 θ(ただし 0° < θ < 180°)で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b) と一意に表すことができる。 逆に座標 (a, b) が与えられれば、Pの位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角 θ = 90° のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換編集

x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ θ, ϕ とする。 斜交座標系で P(a, b) と表されている点を直交座標 (a' , b' )座標変換する公式は以下である:

 

直交座標系はこの表記では θ =0, ϕ =90° の場合である.

内積編集

直交座標系の場合は、2つのベクトル 内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:

 

あるいは次のようにも表現できる[1][2]

 

このとき、添字が上についている量(u1 など)を反変成分、下についている量(v1 など)を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル共変基底ベクトル)を  とすれば、反変成分を用いて

 

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

  •  :y軸(または )に垂直で長さが 1/sin(ϕ−θ) のベクトル
  •  :x軸(または )に垂直で長さが 1/sin(ϕ−θ) のベクトル

とすれば[3]、共変成分を用いて

 

と書くことができる。

上記の議論は  を入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル編集

式(1)の右辺に表れた行列

 

計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。 斜交座標系では計量テンソルg

 

となる。また反変成分と共変成分の変換は

 

とシンプルに表すことができる.

多次元の場合編集

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

脚注編集

  1. ^ W. フリューゲ 著、後藤学 訳 『テンソル解析と連続体力学』ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。 
  2. ^ ui vi などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。
  3. ^ これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、  の関係が成り立つ。

関連項目編集