メインメニューを開く
斜交座標系(2次元)

斜交座標系(しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system)とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

目次

2次元平面における斜交座標系編集

2本の数直線xy が定点Oを共通の原点として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。 逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角θがθ = 90°のときは直交座標系となる。

直交座標系との座標変換編集

x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ  とする。
斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に座標変換する公式は以下である:

 

内積編集

直交座標系の場合は、2つのベクトル 内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる:

 

ここで右辺に現れる行列は、計量テンソルに一般化される。

あるいは次のようにも表現できる[1][2]

 

このとき、添字が上についている量(u1 など)を反変成分、下についている量(v1 など)を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル共変基底ベクトル)を  とすれば、反変成分を用いて

 

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

  •  :y軸(または )に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル
  •  :x軸(または )に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル

とすれば[3]、共変成分を用いて

 

と書くことができる。

この例では、計量テンソルg

 

となる。

上記の議論は  を入れ替えても同様に成り立つ。

脚注編集

  1. ^ W. フリューゲ; 後藤学訳 『テンソル解析と連続体力学』 ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。 
  2. ^ ui vi などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。
  3. ^ これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、  の関係が成り立つ。

関連項目編集