普遍性

数学において普遍性（英語: universality、または universal property）とは、ある特定の状況下において一意に射（あるいは準同型、構造を保つ写像）を定めるような抽象的性質で、それが特定の構成（例えば直積や直和、加群のテンソル積、距離空間の完備化など）を特徴づけるようなものをいう。

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象（英語版）、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し（英語: pushout）、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuel) の論文^[1]によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる^[2]。

概要

U : D → C を圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 （universal morphism）は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。

Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。

XからUへの普遍射

射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ^[3]。

Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))

また、上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。U から X への普遍射は、Dの対象A とCの射 φ : U(A) → X の対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。

Y が Dの対象で f : U(Y) → X がCの射であるような場合、常に D の射g : Y → A が一意に存在して、次の図を可換にする。

UからXへの普遍射

ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

表現可能関手による定義

エミリー・リール（Emily Riehl）は『Category Theory in Context』において、圏 $C$ の対象 $c$ に対する普遍性（英: universal property）を次のように定義している^[4]：

定義: 圏 $C$ の対象 $c$ の普遍性は、表現可能関手 $F : C \to Set$ と、米田の補題を通して自然同型 $C (c, _) ≅ F$ （または $C (_, c) ≅ F$ ）を定める普遍要素（英: universal element） $x ∊ Fc$ によって表現されるものである。
（ここで Set とは集合の圏のことである。）

定義を言い換えると、 $c ∊ C$ の普遍性とは、(表現可能)関手 $F : C \to Set$ と $x ∊ Fc$ を用いて米田の補題から定まる自然変換 $C (c, _) \to F$ が自然同型であるという性質のことである。

圏 $C$ が小さなhom集合を持つ（各対象 $x, y$ について $C (x, y) ∊ Set$ である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である^[5]。

例

ベクトル空間のテンソル積

体 $K$ 上のベクトル空間 $V, W$ について、任意の双線形写像 $f : V \times W \to X$ に対して $f = f' ◦g$ を満たす準同型 $f' : T \to X$ がただ1つ存在するような $K$ -ベクトル空間 $T$ と双線形写像 $g : V \times W \to T$ の組が、同型を除いてただ1つ存在する。このときの $T$ を $V \otimes W$ と表し、 $V$ と $W$ のテンソル積と呼ぶ。

テンソル積を特徴づけるこの性質もまた普遍性と呼ばれる。実際、テンソル積の普遍性から、圏論的な普遍性が次のように与えられる：いま、 $V \times W$ からの双線形写像の集合を与える対応は関手 $Bilin(V, W; _): Vect K \to Set$ （ $Vect K$ とは $K$ -ベクトル空間とその間の線形写像からなる圏）を定める。このとき、テンソル積の普遍性から自然同型 $Vect K (V \otimes W, _) ≅ Bilin(V, W; _)$ が定まり、従って $Bilin(V, W; _)$ は表現可能関手である。双線形写像 $g : V \times W \to V \otimes W$ はこのとき、同型 $Vect K (V \otimes W, V \otimes W) ≅ Bilin(V, W; V \otimes W)$ によって恒等射が写る先として定まる^[6]。

また、カノニカルな双線形写像 $g : V \times W \to V \otimes W$ は一点集合からの写像 $ψ :＊\to Bilin(V, W; V \otimes W)$ によっても表される。いま、任意の $X ∊ Vect K$ と $h :＊\to Bilin(V, W; X)$ に対して、テンソル積の性質から $h = h' ◦ ψ$ が成り立つような準同型 $h' : V \otimes W \to X$ がただ1つ定まる。従って $h$ は一点集合から $Bilin(V, W; _)$ への普遍射である。

剰余群への射影

群 $G$ の正規部分群 $K$ について、剰余群 $G / K$ への射影を $φ : G \to G / K$ で表す。群準同型 $f : G \to H$ について、 $K$ が $f$ の核 $Ker f$ ( $f (x)$ が $H$ の単位元となる $G$ の元の集合) に含まれるとき、群の準同型定理によって $f = h ◦ φ$ を満たす群準同型 $h : G / K \to H$ がただ1つ存在することがわかる。

(小さな) 群とその間の群準同型からなる群の圏を $Grp$ で表す。群 $H$ に対して、群準同型 $f : G \to H$ であって $Ker f \subset K$ を満たすものの集合を $FH$ とおくと、この対応は関手 $F : Grp \to Set$ をなす。準同型定理の主張から、任意の $H$ に対して同型 $FH ≅ Grp (G / K, H)$ が存在して、さらに唯一性からこの同型は $H$ について自然であることがわかる。

以上のことから、剰余群 $G / K$ と剰余群への射影 $φ : G \to G / K$ は普遍性を持っていることがわかる。普遍性の帰結として、商群についての他のすべての性質は、これ以上余集合（剰余群の通常の構成で使われる $G / K$ の各要素）に言及しなくてよくなる^[7]。

ファン・カンペンの定理

位相空間 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ は、2つの開部分集合 ${\textstyle U,V\in {\mathcal {O}}_{X}}$ によって覆われるものとする。すなわち、 ${\textstyle X=U\cup V}$ が成り立つとする。このとき、共通部分 ${\textstyle U\cap V}$ からの包含写像 $U\cap V\xrightarrow {i} U\xrightarrow {j'} X$ と $U\cap V\xrightarrow {j} V\xrightarrow {i'} X$ による可換図式は、位相空間の圏 $Top$ において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 $f : U \to Y$ と $g : V \to Y$ が $f ◦ i = g ◦ j$ を満たすとき、 $f = h ◦ j'$ と $g = h ◦ j'$ を満たすような連続写像 $h : X \to Y$ がただ1つ存在する。

よい条件（ ${\textstyle U\cap V}$ は空でなく弧状連結）の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ^[8]。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。

さまざまな普遍性

随伴関手との関係

(A₁, φ₁) を X₁ から U への普遍射、 (A₂, φ₂) を X₂ から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X₁ → X₂ に対して一意な射 g : A₁ → A₂ が存在して、次の図式を可換にする。

もし 全ての C の対象 X_i にU への普遍射が認められるならば、X_i $\mapsto$ A_i 及び h $\mapsto$ g によってC から D への関手 Vが定義される。これに伴って、φ_i は 1_C （C の恒等関手）から U V への自然変換を定義する。関手 (V, U) は随伴関手の対となる。（V は U の左随伴、及び U は V の右随伴）

同様の言明は U からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての C における X について、関手 V : C → D が得られ、これは U への右随伴になっている。（つまり U は V の左随伴である。）

実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。F と G を単位（unit）η と余単位（co-unit）ε （定義は随伴関手の記事を参考のこと）によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 C と D への普遍射が得られる。

C の各対象 X に対し、 (F(X), η_X) は X から G への普遍射である。つまり、任意の f : X → G(Y) に対して一意な g : F(X) → Y が存在して以下の図式を可換にする。
D の各対象 Y に対し、 (G(Y), ε_Y) は F から Y への普遍射である。つまり、任意の g : F(X) → Y に対して一意な f : X → G(Y) が存在して以下の図式を可換にする。

普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が C 中の全ての対象（同様に、D の全ての対象）について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

脚注

^ Samuel, P. (1948). “On universal mappings and free topological groups” (英語). Bulletin of the American Mathematical Society 54 (6): 591–598. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09052-8. ISSN 0002-9904.
^ Mac Lane 1998, p. 78
^ MacLane(1998) p.59
^ Riehl 2004, p. 62, Definition 2.3.3.
^ Mac Lane 1998, pp. 76–77. ただし『圏論の基礎』では「普遍要素」の定義はリールのものと異なっており、リールが「普遍要素」と呼んだものは (集合値)関手の表現（representation of a functor）として定義されているものと同値の概念である。
^ Riehl 2016, Example 2.3.7.
^ Mac Lane (1998, p. 57). 原文：once the cosets are used to prove this one “universal” property of $p : G \to G / N$ , all other properties of quotient groups — for example, the isomorphism theorems — can be proved with no further mention of cosets (see Mac Lane-Birkhoff [1967]).
^ Leinster 2014, pp. 6–7, Example 0.9.

参考文献

Paul M. Cohen (1981). Universal Algebra. D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8
Lainster, Tom (2014) (英語). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. arXiv:1612.09375. doi:10.1017/CBO9781107360068. ISBN 9781107044241
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Aurora: Modern Math Originals. Dover Publications. ASIN B06XHZ82GF. ISBN 9780486809038

[1] Samuel, P. (1948). “On universal mappings and free topological groups” (英語). Bulletin of the American Mathematical Society 54 (6): 591–598. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09052-8. ISSN 0002-9904.

[2] Mac Lane 1998, p. 78

[3] MacLane(1998) p.59

[FOOTNOTERiehl200462Definition_2.3.3-4] Riehl 2004, p. 62, Definition 2.3.3.

[5] Mac Lane 1998, pp. 76–77. ただし『圏論の基礎』では「普遍要素」の定義はリールのものと異なっており、リールが「普遍要素」と呼んだものは (集合値)関手の表現（representation of a functor）として定義されているものと同値の概念である。

[FOOTNOTERiehl2016Example_2.3.7-6] Riehl 2016, Example 2.3.7.

[7] Mac Lane (1998, p. 57). 原文：once the cosets are used to prove this one “universal” property of $p : G \to G / N$ , all other properties of quotient groups — for example, the isomorphism theorems — can be proved with no further mention of cosets (see Mac Lane-Birkhoff [1967]).

[FOOTNOTELeinster20146–7Example_0.9-8] Leinster 2014, pp. 6–7, Example 0.9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]