この記事は 英語版の対応するページを翻訳することにより充実させることができます。(2023年10月)翻訳前に重要な指示を読むには右にある[表示]をクリックしてください。
- 英語版記事を日本語へ機械翻訳したバージョン(Google翻訳)。
- 万が一翻訳の手がかりとして機械翻訳を用いた場合、翻訳者は必ず翻訳元原文を参照して機械翻訳の誤りを訂正し、正確な翻訳にしなければなりません。これが成されていない場合、記事は削除の方針G-3に基づき、削除される可能性があります。
- 信頼性が低いまたは低品質な文章を翻訳しないでください。もし可能ならば、文章を他言語版記事に示された文献で正しいかどうかを確認してください。
- 履歴継承を行うため、要約欄に翻訳元となった記事のページ名・版について記述する必要があります。記述方法については、Wikipedia:翻訳のガイドライン#要約欄への記入を参照ください。
- 翻訳後、
{{翻訳告知|en|Least common multiple|…}} をノートに追加することもできます。
- Wikipedia:翻訳のガイドラインに、より詳細な翻訳の手順・指針についての説明があります。
|
最小公倍数(さいしょうこうばいすう、英: least common multiple)とは、
ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数を指す。度々、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。
40と15に関する次の要素が埋め込まれた図: 積(600)、 商と剰余(40÷15=2余り10)、 最小公倍数(120)、 最大公約数(5)、 比(8:3)
幾何学的に2つの整数(WとH)及びその最大公約数並びに最小公倍数を長さとして表せる。この図では、WとHを長方形の幅と高さに割り当て、最大公約数をユークリッドの互除法に基づく方法で長さとして求めだし、長方形の面積(WとHの積)を最大公約数で割った結果として最小公倍数も長さとして求めだしている。
2つ以上の整数 の最小公倍数とは、 の公倍数のうち最小の正整数である。
つまり、 を、素数 (prime) p を用いて
と素因数分解したとき、 の最小公倍数は
で与えられる。
例えば、12 と 16 の最小公倍数は 48 である。
- 12 = 22×31
- 16 = 24
- 48 = 24×31
公倍数は最小公倍数の倍数である。
証明
の最小公倍数を とする.
の一般の公倍数を とし, と置く。
変形して …①
①右辺は は の公倍数、 も同じく の公倍数。
よって①の左辺 は の公倍数になる。
しかし となり、最小公倍数 よりも一般公倍数 が小さく矛盾.
すなわち 。よって公倍数 であり最小公倍数の倍数となっている.(証明終)
正整数 に対して、 と の最大公約数 と最小公倍数 との間には
という関係がある。
しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、 とすると、 であるが、 である。
多項式の最小公倍数
編集
参考文献
編集
- 高木貞治『初等整数論講義第2版』共立出版、東京、1971年。
関連項目
編集