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[[File:Pendel stabil instabil.svg|thumb|x265px|[[振り子]]の運動は、位置真下かつ速度零 {{Math2|(0, 0)}} の状態と、位置真上かつ速度零 {{Math2|(''π'', 0)}} の状態という、2つの平衡点を持つ{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=201}}。]]
[[微分方程式]]における'''平衡点'''（へいこうてん）とは、[[独立変数]]に依らず一定の値となる[[常微分方程式]]の[[方程式|解]]である。同じものは'''不動点'''、'''固定点'''、'''臨界点'''、'''休止点'''、'''特異点'''、'''停留点'''、'''静止点'''、'''危点'''、'''平衡解'''、'''定常解'''、'''定数解'''、'''静止解'''などの名でも呼ばれる{{Sfnm|今・竹内|2018|1p=108|ウィギンス|2013|2p=6|上田|2008|3p=27|Strogatz|2015|4p=22}}。英語では ''equilibrium point'', ''fixed point'', ''stationary solution'', ''critical point'', ''rest point'' などと呼ばれる{{Sfn|今・竹内|2018|p=108}}。[[力学系]]的視点では、平衡点とは[[時間]]が変化しても動かない[[相空間]]上の点を意味する。
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要で、平衡点を調べることは、微分方程式の解の定性的な振る舞いを知りたいときの最初の手段である。問題の微分方程式が[[非線形系]]の場合、解析的な解が得られることはまれだが、非線形系であっても平衡点を求めることなら可能である。
数式では、微分方程式 {{Math2|{{Sfrac|''d'''x'''''|''dt''}} {{=}} ''f''('''''x''''')}} において {{Math2|''f''('''''x'''<sub>e</sub>'') {{=}} 0}} を満たす {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} が平衡点である。[[線形系]]あるいは[[線形近似]]された系の平衡点は、[[係数行列]]の[[固有値]]によって、平衡点近傍の解軌道が近づくか離れるかといった安定性の問題を判別できる。[[ハートマン・グロブマンの定理]]により、平衡点が[[双曲型平衡点]]であれば、非線形系の平衡点近傍の振る舞いと線形近似した系の平衡点近傍の振る舞いが、定性的に同じであることが保証されている。
==定義と一般的性質==
微分方程式の[[独立変数]]を {{Math|''t'' ∈ '''R'''}} とし、[[従属変数]]を {{Math|'''''x''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} とする。このとき、{{Math|''d'''x'''''/''dt''}} が次のような {{Mvar|t}} を陽に含まない[[自励系|自励的]]な常微分方程式で与えられているとする{{Sfn|桑村|2015|pp=26–29}}。
:<math> \frac{d \boldsymbol{x} }{dt} = f( \boldsymbol{x} )</math>
ここで、
:<math> \boldsymbol{x} = (x_1,\ x_2, \cdots , \ x_n)^\top </math>
:<math> \frac{
:<math> f = (f_1,\ f_2, \cdots , \ f_n)^\top </math>
:<math> x_1,\ x_2, \cdots , \ x_n \isin \mathbf{R}</math>
であり、右肩の ⊤ は[[転置行列]]を意味する{{Sfn|今・竹内|2018|p=3}}。
上記の微分方程式に対して {{Math|'''''x'''''<sub>''e''</sub> ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} が
:<math> \left . \frac{d \boldsymbol{x} }{dt} \right |_{ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}_e } = f(\boldsymbol{x}_e) = 0</math>
を満たすとき、{{Math|'''''x'''''<sub>''e''</sub>}} を'''平衡点'''などと呼ぶ{{Sfn|丹羽|2008|p=28}}。一方で、
:<math> f(\boldsymbol{x}) \ne 0 </math>
を満たす {{Math|'''''x''''' ≠ '''''x'''<sub>e</sub>''}} を'''通常点'''などと呼ぶ{{Sfnm|丹羽|2008|1p=26|上田|2008|2p=27}}。
微分方程式の定義域 {{Math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} や {{Mvar|U}} を[[力学系]]では[[相空間]]と呼ぶ{{Sfn|齋藤|2004|p=12}}。力学系では、独立変数 {{Mvar|t}} はしばしば[[時間]]とみなす{{Sfn|ウィギンス|2013|p=1}}。力学系的視点では、平衡点とは時間が変化しても動かない相空間上の点を意味する{{Sfn|上田|2008|p=27}}。微分方程式の解は相空間上で曲線を描くので、これを[[解軌道]]などと呼ぶ{{Sfn|今・竹内|2018|p=107}}。平衡点も1つの解軌道である{{Sfn|今・竹内|2018|p=108}}。{{Mvar|f}} が一般的な[[滑らかな関数]]であれば、[[解の存在と一意性の定理|微分方程式の解の存在と一意性]]の要請のため、平衡点以外の解軌道が有限時間以内に平衡点に到達することはない{{Sfn||桑村|2015|p=20}}。ただし、後述のように {{Math|''t'' → ∞}} で平衡点に[[極限|収束する]]解軌道はあり得る。
どれだけ時間変化しても解軌道が相空間上のある集合から出ない場合、その集合を[[不変集合]]という{{Sfn|Strogatz|2015|p=353}}。平衡点はもっとも単純な閉不変集合である{{Sfn|齋藤|2004|p=49}}。またさらに、閉不変集合 {{Mvar|M}} の[[部分集合]]で[[閉不変集合]]であるのは {{Mvar|M}} と[[空集合]]だけであるとき、{{Mvar|M}} を[[不変集合|極小集合]]という{{Sfn|齋藤|2004|p=136}}。平衡点は極小集合でもある{{Sfn|齋藤|2004|p=136}}。
==平衡点の計算例==
[[File:平衡点の例とベクトル場の様子.svg|thumb|300px|微分方程式系 {{Math2|{{Sfrac|''dx''|''dt''}} {{=}} ''x''(2 − ''x'' − ''y'')}} および {{Math2|{{Sfrac|''dy''|''dt''}} {{=}} ''x'' − ''y''}} の平衡点とベクトル場の様子。2つの青点 {{Math2|(0, 0)}} と {{Math2|(1, 1)}} が平衡点で、矢印のベクトル場は解軌道の流れを示す。]]
{{Math|''f''('''''x'''''<sub>''e''</sub>) {{=}} 0}} が代数的に解けるときは、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} を式で書き表すことができる{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=163}}。例えば、
:<math>
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}= x (2 - x -y) \\
\dfrac{dy}{dt}= x - y
\end{cases}
</math>
という微分方程式系であれば、
:<math>
\begin{cases}
x (2 - x -y) = 0 \\
x - y = 0
\end{cases}
</math>
という連立方程式を解くことにより、{{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (1, 1)}} と {{Math|(''x'', ''y'') {{=}} (0, 0)}} の2点がこの微分方程式系の平衡点であることが分かる{{Sfn|桑村|2015|p=34}}。
方程式の係数が変数で与えられているような例としては、次の[[ローレンツ方程式]]を挙げる{{Sfn|船越|2008|p=104}}。
:<math>
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}= \sigma y - \sigma x \\
\dfrac{dy}{dt}= r x - y - xz \\
\dfrac{dz}{dt}= x y - b z
\end{cases}
</math>
ここで、{{Math2|''σ'', ''r'', ''b''}} は {{Mvar|t}} に依存しない[[定数]]（パラメータ）である。ローレンツ方程式の1つの平衡点は
:<math>
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
</math>
で、この原点の平衡点はパラメータの値に依存せずに常に存在する{{Sfn|船越|2008|p=109}}。さらに {{Math2|''r'' > 1, ''b'' > 0}} の条件下で、原点の平衡点 に加え、次の2つの平衡点が存在する{{Sfn|船越|2008|p=109}}。
:<math>
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \sqrt{b(r-1)} \\ \sqrt{b(r-1)} \\ r-1 \end{pmatrix}
</math>
:<math>
\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -\sqrt{b(r-1)} \\ -\sqrt{b(r-1)} \\ r-1 \end{pmatrix}
</math>
==平衡点近傍における解軌道の振る舞い、安定性判別==
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要な役割を果たす{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=2}}。微分方程式系の解の振る舞いを知りたいとき、最初の取っ掛かりとなるのが平衡点の調査である{{Sfnm|船越|2008|1p=108|ウィギンス|2013|2p=6}}。相空間の全体での大域的な性質を問題にする場合であっても、平衡点近傍の局所的な性質の解明が基礎となる{{Sfn|丹羽|2008|p=25}}。平衡点近傍の解軌道の振る舞いを調べ、分類するのが、解軌道の幾何学的構造を理解する第一歩である{{Sfn|松葉|2011|pp=49, 72}}。
とくに、微分方程式のある解軌道とその近くを通る別の解軌道が、任意の時刻 {{Mvar|t}} においても十分近く同士にあるのか、それとも {{Math|''t'' → ∞}} で離れていくかといったような問題は、[[安定性理論|安定性]]の問題と言われ、微分方程式の定性理論においてもっとも基本的な問題である{{Sfn|ブラウン|2012|p138}}。
===安定性の定義===
[[File:Illustration of Stability.png|thumb|260px|リアプノフ安定の概念図。平衡点を中心とする半径 {{Mvar|δ}} の円中から出発した解軌道は、半径 {{Mvar|ε}} の同心円中に留まる。]]
[[File:Illustration of Asymptotic Stability.png|thumb|260px|漸近安定の概念図。平衡点を中心とする半径 {{Mvar|δ}} の円中から出発した解軌道は、半径 {{Mvar|ε}} の同心円中に留まり、なおかつ平衡点へ収束する。]]
平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} の十分近くの初期値を取る解が、全ての時刻 {{Mvar|t}} において {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} の近くに留まり続けるようなとき、その平衡点を'''[[リアプノフ安定]]'''であるという{{Sfn|Strogatz|2015|p=141}}。厳密に言うと、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} がリアプノフ安定であるとは、 任意の定数 {{Mvar|ε}} が与えられたときにある定数 {{Mvar|δ}} が存在し、{{Math2| {{Norm|'''''x'''''(0) − '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} < ''δ'' }} を満たすような任意の解 {{Math|'''''x'''''(''t'') ≠ '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} が、全ての {{Mvar|t}} で {{Math2| {{Norm|'''''x'''''(''t'') − '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} < ε}} を満たすことをいう{{Sfn|Strogatz|2015|p=155}}。ここで、{{Math2| {{Norm| }} }} は相空間に定義された[[ノルム]]を表す。リアプノフ安定であるとき、単に'''安定'''であるともいう{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=105}}。
一方、リアプノフ安定とは別の安定性の概念もある{{Sfn|Strogatz|2015|p=155}}。平衡点の近くにある初期点を取る解がその平衡点へ収束するとき、そのような平衡点を'''吸引的'''であるという{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=95}}。厳密な定義では、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} に対してある定数 {{Mvar|δ}} が存在し、{{Math2| {{Norm|'''''x'''''(0) − '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} < ''δ'' }} を満たすような任意の解 {{Math|'''''x'''''(''t'') ≠ '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} が、{{math|''t'' → ∞}} のときに{{Math|'''''x'''''(''t'') → '''''x'''''<sub>''e''</sub>}} を満たすことを吸引的という{{Sfn|Strogatz|2015|p=155}}。吸引的な平衡点は'''沈点'''とも呼ばれる{{Sfnm|松葉|2011|1p=36|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|2p=95}}。
さらに、平衡点がリアプノフ安定なおかつ吸引的であるとき、'''漸近安定'''であるという{{Sfn|Strogatz|2015|p=156}}。誤解や混乱を生まないようであれば、漸近安定な平衡点を単に「安定な平衡点」と呼ぶこともある{{Sfn|桑村|2015|p=29}}。平衡点がリアプノフ安定であるが吸引的ではないときは、とくに'''中立安定'''な平衡点という{{Sfn|Strogatz|2015|p=142}}。
平衡点がリアプノフ安定ではないとき、あるいは平衡点がリアプノフ安定でも吸引的でもないとき、'''不安定'''であるという{{Sfnm|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|1p=105|Strogatz|2015|2p=142}}。吸引的とは逆に、平衡点近傍の全ての初期値の解が時間経過に従って平衡点から離れるとき、そのような平衡点を'''反発的'''であるという{{Sfn|松葉|2011|pp=36, 50}}。反発的な平衡点は'''源点'''とも呼ばれる{{Sfnm|松葉|2011|1p=36|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|2p=95}}。
===線形系===
問題が次のような定数係数の[[線形微分方程式]]であれば、全ての解を厳密に解くことができる{{Sfn|ブラウン|2012|pp=142, 144–145}}。
:<math> \frac{d \boldsymbol{x} }{dt} = \boldsymbol{A x} </math>
ここで、{{Mvar|'''A'''}} は次のような定数を各要素とする {{Mvar|n}} 次[[正方行列]]である{{Sfn|今・竹内|2018|p=91}}。
:<math>
\boldsymbol{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
</math>
この線形微分方程式系の初期値を {{Math|'''''x'''''<sub>0</sub> (''t'' {{=}} 0)}} とすると、一般解は[[行列の指数関数]]を使って {{Math|''e''<sup>'''''A'''t''</sup>'''''x'''''<sub>0</sub>}} と表すことができる{{Sfnm|今・竹内|2018|1p=91|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=132}}。このような線形微分方程式系では、{{Mvar|'''A'''}} にかかわらず原点 {{Mvar|'''o'''}} はつねに平衡点である{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=99}}。
線形微分方程式を解く上で中心的役割を果たすのが[[固有値]]と[[固有ベクトル]]である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=82}}。一般に、{{Mvar|n}} 次正方行列 {{Mvar|'''A'''}} から導かれる[[特性方程式]]
:<math>\det(\boldsymbol{A} - \lambda I)=0</math>
を解くことで、重複も含めて {{Mvar|n}} 個の固有値 {{Mvar|λ}} と固有ベクトル {{Mvar|'''v'''}} が得られる{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=82}}。{{Mvar|'''A'''}} の固有値 {{Mvar|λ}} の値によって、線形微分方程式系の平衡点 {{Mvar|'''o'''}} の安定性は次のように判別できる{{Sfn|ブラウン|2012|pp=145, 148}}。
*全ての固有値の[[実部]]が負のとき、平衡点は漸近安定。
*実部が正の固有値を少なくとも1つ以上含むとき、平衡点は不安定。
*全ての固有値が実部が負の固有値と[[純虚数]]（実部が零）の固有値から成るとき、平衡点は中立安定。
===ポアンカレの分類===
[[アンリ・ポアンカレ]]は、次のような2次元自励線形微分方程式の平衡点を、平衡点近傍の解軌道の振る舞いにもとづき分類した{{Sfnm|齋藤|2004|1p=129|上田|2008|2pp=35–36}}。
:<math>
\begin{cases}
\dfrac{dx}{dt}= a x + b y\\
\dfrac{dy}{dt} = c x + d y
\end{cases}
</math>
この場合、原点 {{Math|'''''x'''<sub>e</sub>'' {{=}} '''''o'''''}} が常に平衡点である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=27}}。この系の[[係数行列]]を
:<math>
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
</math>
とし、{{Mvar|'''A'''}} の固有値を {{Math|''λ''<sub>1</sub>}} および {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} とする。 {{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} の値によって、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} は次のように分類される。
<gallery caption="平衡点の分類{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1pp=37–47|Strogatz|2015|2pp=143–150}}" mode="nolines" widths=160px heights=160px>
File:Phase Portrait Stable Node.svg | 結節点（安定結節点）
File:Phase Portrait Stable Proper Node.svg | 結節点（安定結節点、スターノード）
File:Phase Portrait Unstable Node.svg | 結節点（不安定結節点）
File:Phase Portrait Unstable Proper Node.svg | 結節点（不安定結節点、スターノード）
File:Phase Portrait Sadle.svg | 鞍状点
File:Phase Portrait Stable Focus.svg | 渦状点（渦状沈点）
File:Phase Portrait Unstable Focus.svg | 渦状点（渦状源点）
File:Phase portrait center.svg | 渦心点
</gallery>
;結節点、あるいはノード（{{Lang-en|node|links=no}}）
:{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} が同符号の実数である（{{Math2|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub> < 0}} または {{Math2|''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub> > 0}}）場合の平衡点{{Sfnm|上田|2008|1p=36|齋藤|2004|2pp=129–130}}。平衡点が結節点のとき、平衡点の周囲の解軌道は、平衡点に向かって回転せずに単調に近づいていくか離れていくかのいずれかである{{Sfnm|松葉|2011|1p=53|桑村|2015|2p=36}}。{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、結節点は漸近安定な沈点でもある{{Sfn|松葉|2011|p=53}}。この場合は'''安定結節点'''や'''安定ノード'''と呼ばれる{{Sfnm|桑村|2015|1pp=31, 36|Strogatz|2015|2p=147}}。{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、結節点は不安定な源点でもある{{Sfn|松葉|2011|p=53}}。この場合は'''不安定結節点'''や'''不安定ノード'''と呼ばれる{{Sfnm|桑村|2015|1pp=31, 36|Strogatz|2015|2p=147}}。とくに、{{Math2|''λ''<sub>1</sub> {{=}} ''λ''<sub>2</sub>}} かつ {{Math2|''b'' {{=}} ''c'' {{=}} 0}} であるときは、結節点の周囲の解軌道は結節点を通る放射状の直線群となり、'''スターノード'''などと呼ばれる{{Sfnm|上田|2008|1pp=34, 36|Strogatz|2015|2p=148}}
;鞍状点、鞍点、あるいはサドル（{{Lang-en|saddle|links=no}}）
:{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} が互いに異符号の実数である（{{Math2|''λ''<sub>1</sub> > 0, ''λ''<sub>2</sub> < 0}} または {{Math2|''λ''<sub>1</sub> < 0, ''λ''<sub>2</sub> > 0}}）場合の平衡点{{Sfnm|上田|2008|1p=36|齋藤|2004|2pp=129–130|ブラウン|2012|3p=199}}。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道には平衡点に向かって近づいていく方向と離れていく方向が同居している{{Sfn|松葉|2011|p=53}}。鞍状点の場合、4本の半直線の解軌道が平衡点へ到達する{{Sfn|ブラウン|2012|p=199}}。2本は {{math|''t'' → ∞}} で鞍状点へ収束し、もう2本は {{math|''t'' → −∞}} で鞍状点へ収束する{{Sfn|上田|2008|p=36}}。
;渦状点、スパイラル（{{Lang-en|spiral|links=no}}）、焦点、あるいはフォーカス（{{Lang-en|focus|links=no}}）
:{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} が互いに共役な実部非零の複素数である（{{Math2|''λ''<sub>1</sub> {{=}} ''α'' + ''βi'', ''λ''<sub>2</sub> {{=}} ''α'' − ''βi''}} かつ {{Math2|''α ≠'' 0}}）場合の平衡点{{Sfnm|上田|2008|1p=37|齋藤|2004|2pp=129–130|ブラウン|2012|3p=199}}。平衡点が鞍状点のとき、周囲の解軌道は[[対数螺旋]]群となり、平衡点へ回転しながら近づいていくか離れていくかのいずれかである{{Sfnm|上田|2008|1p=37|松葉|2011|2p=54|桑村|2015|3p=36}}。固有値実部 ({{Math|''α''}}) の符号が負であれば解軌道は平衡点へ近づいていき、渦状点は漸近安定な沈点でもある{{Sfn|松葉|2011|p=54}}。この場合は'''渦状沈点'''、'''安定スパイラル'''、'''安定焦点'''と呼ばれる{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1p=45|今・竹内|2018|2p=117|桑村|2015|3pp=31, 36}}。固有値実部 ({{Math|''α''}}) の符号が正であれば解軌道は平衡点から離れていき、渦状点は不安定な源点でもある{{Sfn|松葉|2011|p=54}}。この場合は'''渦状源点'''、'''不安定スパイラル'''、'''不安定焦点'''と呼ばれる{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1p=45|今・竹内|2018|2p=117|桑村|2015|3pp=31, 36}}。
;渦心点、あるいはセンター（{{Lang-en|center|links=no}}）
:{{Math|''λ''<sub>1</sub>}} と {{Math|''λ''<sub>2</sub>}} が互いに共役な純虚数である（{{Math2|''λ''<sub>1</sub> {{=}} ''βi'', ''λ''<sub>2</sub> {{=}} −''βi''}}）場合の平衡点{{Sfnm|上田|2008|1p=37|齋藤|2004|2pp=129–130}}。平衡点が渦心点のとき、周囲の解軌道は平衡点を中心とする[[円 (数学)|円]]（[[閉曲線]]）群である{{Sfnm|上田|2008|1p=37|Strogatz|2015|2p=147}}。周囲の解軌道は吸引されることも反発することもなく、渦心点は中立安定な平衡点である{{Sfn|Strogatz|2015|p=147}}。
[[File:Phase plane nodes.svg|thumb|370px|行列式 {{Mvar|q}} とトレース {{Mvar|p}} による2次元自励線形微分方程式の平衡点の分類{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1p=61|Strogatz|2015|2p=150|松葉|2011|3p=54|今・竹内|2018|4p=118}}]]
また、{{Mvar|'''A'''}} の[[行列式]]を {{Math|''q'' {{=}} det '''''A'''''}} とし、{{Mvar|A}} の[[跡 (線型代数学)|トレース]]を {{Math|''p'' {{=}} tr '''''A'''''}} とする。これらは
:<math> q= ad - bc = \lambda_1 \lambda_2 </math>
:<math> p = a + d = \lambda_1 + \lambda_2 </math>
というように各係数あるいは各固有値で表される{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|pp=59–60}}。したがって、これらの {{Mvar|q}} と {{Mvar|p}} の値によっても平衡点の定性的分類を行うことができ、結節点、鞍状点、渦状点、渦心点の判別は次のようになる{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=150–151|松葉|2011|2pp=53–54|Hirsch, Smale & Devaney|2007|3p=60|今・竹内|2018|4p=119}}。
*{{Math|''q'' < 0}} であれば、平衡点は鞍状点
*{{Math|''q'' > 0}} でかつ
** {{Math|''p''<sup>2</sup> > 4''q''}} であれば、平衡点は結節点
** {{Math|''p''<sup>2</sup> < 4''q''}} かつ {{Math|''p'' ≠ 0}} であれば、平衡点は渦状点
** {{Math|''p'' {{=}} 0}} であれば、平衡点は渦心点
以上のような平衡点の定性的分類を {{Mvar|p}} と {{Mvar|q}} を軸とする {{Mvar|pq}}-平面に書き込むと、2次元線形微分方程式の[[分岐図 (力学系)|分岐図]]を作ることができる{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=62}}。
===非線形系===
問題の微分方程式が[[非線形系]]の場合、解析的な解が得られることはまれである{{Sfn|Strogatz|2015|p=161}}。しかし、非線形系であっても平衡点を求めることなら可能である{{Sfn|今・竹内|2018|p=108}}。そして、線形系の平衡点に対する安定判別法を非線形の平衡点に対する安定性判別に応用することはできる{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=112}}。1つは、平衡点周りで[[線形化]]する方法である。
下記のような一般的な自励系的微分方程式が与えられているとする。
:<math> \frac{d \boldsymbol{x} }{dt} = f( \boldsymbol{x} )</math>
この微分方程式の平衡点を {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} とする。{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} を原点とする新たな変数を {{Mvar|'''y'''}} として導入すると、{{Math2|'''''x''''' {{=}} '''''x'''<sub>e</sub>'' + '''''y'''''}} である。{{Mvar|f}} が[[滑らかな関数|滑らか]]であれば、{{Math|''f''('''''x'''<sub>e</sub>'' + '''''y''''')}} を {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} 周りで[[テーラー展開]]し、{{Mvar|'''y'''}} の2次以上のオーダーの項を無視することで、
:<math> \frac{d \boldsymbol{y} }{dt} = Df(\boldsymbol{p})\boldsymbol{y}</math>
という、平衡点近傍で[[線形近似]]した微分方程式を得ることができる{{Sfn|松葉|2011|p=49}}。ここで、{{Math|''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} は次のような {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} についての {{Mvar|f}} の[[ヤコビ行列]]である。
:<math>
Df(\boldsymbol{x}_e) = \begin{pmatrix}
\cfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}_e) & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\boldsymbol{x}_e) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(\boldsymbol{x}_e) & \cdots & \cfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(\boldsymbol{x}_e)
\end{pmatrix}
</math>
{{Math2|'''''A''''' {{=}} ''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} と書き換えれば、近似した微分方程式は上記の線形系とまったく同じである{{Sfn|今・竹内|2018|p=112}}。
一方で、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} のヤコビ行列 {{Math|''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} の全ての[[固有値]]の実部が零ではない場合、そのような平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} を'''[[双曲型平衡点]]'''という{{Sfn|今・竹内|2018|p=112}}。もし平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} が双曲型平衡点であれば、[[ハートマン・グロブマンの定理]]によって、元の非線形微分方程式とそれを線形近似して得られた微分方程式の解は {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} の近傍で[[位相共役]]であることが知られている{{Sfn|Strogatz|2015|p=171}}。言い換えれば、線形近似の方程式の解は {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} の近傍で元の方程式の解と質的に同じである{{Sfn|ウィギンス|2013|p=236}}。
ハートマン・グロブマンの定理により、元の非線形微分方程式の平衡点の安定性を、線形近似した微分方程式によって正確に判別することができる{{Sfn|Strogatz|2015|p=171}}。また、平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} が双曲型であるか否かにかかわらず、{{Math|''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} の固有値が少なくとも1つ以上の固有値が正であれば、{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} が不安定であることが分かっている{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=113}}。以上をまとめると、非線形系の平衡点についてもヤコビ行列の固有値にもとづいて次のように判別できる{{Sfnm|桑村|2015|1p=37|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|2pp=113–114}}。
*平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} のヤコビ行列 {{Math|''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} の全ての固有値の実部が負の値であるとき、{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} は漸近安定。
*平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} のヤコビ行列 {{Math|''Df''('''''x'''<sub>e</sub>'')}} の少なくとも1つ以上の固有値が正のとき、{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} は不安定。
しかし、平衡点のヤコビ行列の固有値が実部が負の値と実部が零の値から成るとき、ヤコビ行列だけから安定性を判別することはできない{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=113}}。非双曲型平衡点に対して安定性を議論する一般的方法を与えるのは[[中心多様体]]による方法である{{Sfn|松葉|2011|p=238}}。次のような微分方程式系が与えられているとする{{Sfn|ウィギンス|2013|p=194}}。
:<math> \frac{d \boldsymbol{x} }{dt} = A \boldsymbol{x} + f( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} )</math>
:<math> \frac{d \boldsymbol{y} }{dt} = B \boldsymbol{y} + g( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} )</math>
ここで、
:<math> \boldsymbol{x} \isin \mathbf{R}^c, \ \boldsymbol{y} \isin \mathbf{R}^s </math>
:<math> f(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 0, \ g(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 0 </math>
:<math> Df(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 0, \ Dg(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{0}) = 0 </math>
であり、{{Mvar|A}} は全ての固有値の実部が零であるような {{Mvar|c}} 次正方行列、{{Mvar|B}} は全ての固有値の実部が負の値であるような {{Mvar|s}} 次正方行列である{{Sfn|ウィギンス|2013|p=194}}。この場合、平衡点は原点 {{Mvar|'''o'''}} に平行移動されている{{Sfn|松葉|2011|p=239}}。このような微分方程式系に対しては、平衡点を通る中心多様体およびその中心多様体に制限されたベクトル場を平衡点近傍で計算することで安定性を判別できる{{Sfnm|ウィギンス|2013|1pp=194–198|桑村|2015|2pp=38–41|松葉|2011|3pp=238–243}}。これらを解析的に厳密解を求めるのは難しいが、中心多様体の定理によって好きな精度で近似的に計算できることが保証される{{Sfn|ウィギンス|2013|p=196}}。
ヤコビ行列の固有値を調べることなく平衡点の安定性を判別する方法としては、[[リアプノフ関数]]を見つける方法がある{{Sfn|桑村|2015|pp=65–66}}。平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} を含む開集合 {{Mvar|U}} 上に定義された[[実数値関数]] {{Math|''L''('''''x''''')}} が条件
<ol start="1">
<li>{{Math|''L''('''''x'''<sub>e</sub>'') {{=}} 0}} かつ {{Math|'''''x''''' ≠ '''''x'''<sub>e</sub>''}} ならば {{Math|''L''('''''x''''') > 0}}</li>
<li>{{Math|''U'' − {'''''x'''<sub>e</sub>''} }} 上で {{Math2|{{Sfrac|''dL''('''''x''''')|''dt''}} ≤ 0}}</li>
</ol>
を満たすとき、{{Math|''L''('''''x''''')}} を'''リアプノフ関数'''という{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=199}}。条件2の代わりに、
<ol start="3">
<li>{{Math|''U'' − {'''''x'''<sub>e</sub>''} }} 上で {{Math2|{{Sfrac|''dL''('''''x''''')|''dt''}} < 0}}</li>
</ol>
を満たすとき、{{Math|''L''('''''x''''')}} を'''狭義リアプノフ関数'''という{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=199}}。平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} に対してリアプノフ関数が存在するときは、{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} はリアプノフ安定である{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=122}}。平衡点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} に対して狭義リアプノフ関数が存在するときは、{{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} は漸近安定である{{Sfn|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012|p=122}}。ただし、リアプノフ関数を見つける一般的で決まった方法はなく、発見的に試行錯誤して探すしかない{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1p=199|松葉|2011|2p=216}}。
==写像の「平衡点」==
{{Main|不動点}}
一般に、相空間の1点 {{Math2|'''''x''''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup>}} を {{Math2|'''R'''<sup>''n''</sup>}} から {{Math2|'''R'''<sup>''n''</sup>}} へ写す[[写像]] {{Math|''f'' ('''''x''''')}} の {{Mvar|n}} 回[[反復合成写像|反復]] {{Math|''f'' <sup>''n''</sup>('''''x''''')}} を考えることで、離散的な時間 {{Math2|''n'' ∈ '''Z'''}} の力学系が定まる{{Sfn|松葉|2011|pp=26–27}}。このような離散的力学系に対して {{Math2|''f'' ('''''x'''<sub>e</sub>'') {{=}} '''''x'''<sub>e</sub>''}} を満たす {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} を[[不動点]]という{{Sfn|ウィギンス|2013|p=9}}。不動点は任意の時間 {{Mvar|n}} に対して {{Math2|''f'' <sup>''n''</sup>('''''x'''<sub>e</sub>'') {{=}} '''''x'''<sub>e</sub>''}} を満たす{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。
不動点 {{Mvar|'''x'''<sub>e</sub>}} では離散的力学系の解軌道は {{Mvar|x<sub>e</sub>}} に留まり続けることを意味し、写像の不動点と微分方程式の平衡点は同じような性質を持つ{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。微分方程式の平衡点と同様に、写像の不動点もまた離散的力学系において中心的役割を担う{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=338}}。微分方程式については「平衡点」と呼び、写像については「不動点」と呼び、それぞれを呼び分けることもあれば{{Sfnm|Hirsch, Smale & Devaney|2007|1pp=20, 338|松葉|2011|1p=32}}、これら2つをまとめて「不動点」や「固定点」や「平衡点」と呼ぶこともある{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=19, 382|ウィギンス|2013|2pp=6, 9|松葉|2011|3p=32|今・竹内|2018|4pp=108, 216}}。
==出典==
104 ⟶ 328行目:
|ref = {{Sfnref|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 船越 満明
|title = カオス
|url = http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11613-7/
|series = シリーズ 非線形科学入門3
|publisher = 朝倉書店
|year = 2008
|edition = 初版
|isbn = 978-4-254-11613-7
|ref = {{Sfnref|船越|2008}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = M. ブラウン
|title = 微分方程式 下 ―その数学と応用
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b304229.html
|translator = 一樂 重雄・河原 正治・河原 雅子・一樂 祥子
|publisher= 丸善出版
|year = 2012
|isbn = 978-4-621-06570-9
|ref = {{Sfnref|ブラウン|2012}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = K.T.アリグッド；T.D.サウアー；J.A.ヨーク
|translator = 星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏
|others = 津田 一郎（監訳）
|title = カオス 第2巻 力学系入門
|url = https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/b294298.html
|publisher = 丸善出版
|year = 2012
|isbn = 978-4-621-06279-1
|ref = {{Sfnref|アリグッド；サウアー；ヨーク|2012}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author = 松葉 育雄
|title = 力学系カオス
|url = https://www.morikita.co.jp/books/book/599
|publisher = 森北出版
|edition = 第1版
|year = 2011
|isbn = 978-4-627-15451-3
|ref = {{Sfnref|松葉|2011}}
}}
*{{Cite book ja-jp
|author= 齋藤 利弥
|title= 力学系入門
|url = https://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11722-6/
|publisher= 朝倉書店
|edition= 復刊版
|year= 2004
|isbn= 4-254-11722-1
|ref=
}}
==外部リンク==
{{Commonscat}}
*{{Scholarpedia |title = Equilibrium |urlname = Equilibrium |curator = Eugene M. Izhikevich}}
{{デフォルトソート:へいこうてん}}
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:力学系]]
[[Category:不動点]]
[[Category:数学に関する記事]]
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