「一般相対性原理」の版間の差分
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<math>X(x^0,x^1,x^2,x^3)</math>を座標変換して<math>X(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)</math>を含む式になるという主張は数学として完全に破綻しているため出典があるはずがない。独自研究を除去。節の内容も意味不明。 |
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なお、一般相対性原理をより数学的に具体的に拡張した主張として[[一般共変性原理]]がある。これは、「自然の一般法則は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標変換に対して一般共変な方程式で表される」あるいは「一般座標変換によって物理法則は不変である」という命題からなり、数学的には、自然の法則がテンソルのすべての成分がゼロになるということで定式化されるべきであることを主張する<ref>{{harvnb|リーマン|リッチ|レビ＝チビタ|アインシュタイン|1971|pp=104-108}}</ref>。
== 方程式の一般共変性 ==
具体的に考えるため、仮に座標系 <math>x^0,x^1,x^2,x^3</math> における法則
:<math>X(x^0,x^1,x^2,x^3) + \alpha Y(x^0,x^1,x^2,x^3) - A(x^0,x^1,x^2,x^3) = \bold{0}</math>
について考える。この法則が一般相対性原理（一般共変性原理）を満たすとは次のことを意味する。この法則の座標系 <math>x'^0,x'^1,x'^2,x'^3</math> における式は、座標系 <math>x^0,x^1,x^2,x^3</math> における式を座標変換することで得られる。ゼロに等しい上記法則は座標変換しても全体としてはゼロであることは変わらない。座標変換は、<math>X,Y,A</math> がそれぞれ偏微分式であれば、
:<math>\frac{\partial x'^a}{\partial x^j}\cdots\frac{\partial x'^c}{\partial x^l}X(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) + \alpha \frac{\partial x'^d}{\partial x^m}\cdots\frac{\partial x'^f}{\partial x^o} Y(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) - \frac{\partial x'^g}{\partial x^p}\cdots\frac{\partial x'^i}{\partial x^r}A(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3)=\bold{0}</math>
となり{{要出典|date=2022年2月}}各項は式の形状が変わり得る。ここで、各項 <math>X,Y,A</math> が座標変換について共変的（covariant）であれば（数学的には[[テンソル]]と呼ばれるものはそのような性質を持つ）、左辺の各項の変換係数が一致するため、上記の式は以下のように変形できる。
:<math>\frac{\partial x'^a}{\partial x^j}\cdots\frac{\partial x'^c}{\partial x^l}\left\{ X(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) + \alpha Y(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) - A(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) \right\} = \bold{0}</math>
座標変換により現れた係数はゼロでないため、上記の関係を満たすには括弧内がゼロでなければならず、結局、座標系 <math>x'^0,x'^1,x'^2,x'^3</math> において法則は、
:<math>X(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) + \alpha Y(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) - A(x'^0,x'^1,x'^2,x'^3) = \bold{0}</math>
とならなくてはならない。このテンソルの各項はもとの座標系の項とイコールではないが、式全体の関係は変わっていない。一般相対性原理は、テンソルで記述された物理法則は座標変換に関して上記のような性質を持つと仮定するものである。
== 脚注 ==
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