「行列式」の版間の差分

により指定されると考えることができる。このとき {{math|''A''(''Xu'', ''Xv'') {{=}} (''ad'' − ''bc'')''A''(''u'', ''v'')}} が成り立っているが、これは {{mvar|X}} の定める線型変換によって平面内の図形の面積が {{mathmath2|(''ad'' − ''bc'')}}- 倍される、と解釈できる。

したがって、実2次正方行列 {{mvar|X}} に対して（上の記号の下で）{{mathmath2|det ''X'' {{coloneqq}} ''ad'' &minus; ''bc''}} を対応させると、{{mathmath2|det(''XY'') {{=}} (det&thinsp;''X'')(det&thinsp;''Y'')}} であることや、{{mathmath2|det ''X'' > 0}} であるとき {{mvar|X}} の定める変換は図形の向きを保ち、反対に {{mathmath2|det ''X'' < 0}} であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。{{math|det}} の乗法性から {{mvar|X}} が可逆ならば {{math|det ''X''}} は逆数を持つ数であることが従うが、反対に {{mvar|X}} が退化した行列（つまり {{mvar|X}} の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が {{math|0}} になることから {{mathmath2|det ''X'' {{=}} 0}} となることがいえる。こうして、正方行列 {{mvar|X}} が正則であることと {{mvar|X}} の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。

同様にして一般の次数のN次[[正方行列]] {{mvar|X}} に対し、{{mvar|X}} の定める線型変換が超立体(N（N次図形)）の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を {{mvar|X}} の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形でか書け、二次の場合と同様にこれは[[正則行列|正則性]]など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。[[線型方程式|一次方程式系]]が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特に[[クラメルの公式]]により、[[方程式|根]]が一組である[[線型方程式系]]の根の公式が行列式を用いて表示される。

2次[[対称群]] <math display="inline">\mathfrak{S}_2</math> は恒等置換 {{mathmath2|1=id}} ({{math|id(1) {{=}} 1, id(2) {{=}} 2)}}) と互換 {{mathmath2|1=''σ'' {{=}} (1, 2)}}（{{math|''σ''(1) {{=}} 2, ''σ''(2) {{=}} 1)}}） の 2 つの置換からなるので

: <math>\begin{vmatrix}

a_{12 1} & a_{12 2} \\

\end{vmatrix} = a_{21 1} &a_{2 2} - a_{2 1} a_{1 2} </math>

:<math>\endbegin{vmatrix}=

a_{1 1} &a_{21 2} - &a_{2 1} a_{1 23} \\

<math>\beginend{vmatrix} = a_{1 1}a_{2 2}a_{3 3}

- a_{1 2}a_{2 1}a_{3 3}</math>

[[ファイル画像:Det (mod1).GIF|thumb|300px|thumb|サラスの方法]]

2 次あるいは 3 次の正方行列については、左上から右下へ向かう方向に「{{math|+}}」、右上から左下へ向かう方向に「{{math|−}}」の符号を付けて積を取りそれらの和を取ると行列式が求められる。これを「'''{{ill2|[[サラスの方法|en|Rule of Sarrus|preserve=1}}]]'''」または「'''サラス展開'''」、「'''たすきがけの法'''」と言う。{{mvar|n}} 次正方行列に対して、サラスの方法で取り出せる項の数は高々 {{math|2''n''}} であり、一般には行列式の総項数 {{math|''n''!}} に比べてはるかに少ないため、'''4次以上の正方行列にはこの方法は使えない'''。