「調和振動子」の版間の差分

{{古典力学}}

 

特徴の一つは、振幅ないしそれに対応する物理量によることなく定まった周期で振動することである。

たとえば[[結晶]]で、格子点にある原子の[[熱振動]]を三次元調和振動子とみなして、[[比熱]]などの理論値を計算することができる。

 

[[ばね定数]] ''k'' のばねにつながれた[[質量]] ''m'' の物体を考える。ばねの自然長から ''x'' だけ引っ張り、手を離すと物体は振動を始める。物体にかかる[[力]]は ''-kx'' である。[[ニュートンの運動方程式]] <math>mx''=-kx</math> を解くと、一般解は次のようになる（' は時間微分）。

{{Indent|<math>x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t</math><br />

[[振動運動]]にさらに詳しい議論がある。

 

調和振動子のポテンシャル U は次のようになる。

{{Indent|<math>U=\frac{1}{2}kq^2</math>}}

ところで、この系がある一定の[[力学的エネルギー]] E を持っているとき、ハミルトン関数 H の値は E にほかならない。このとき''q'' と ''p'' を座標軸にとってみると、上の式は[[楕円]]の方程式になっている。このように座標空間と運動量空間からなる空間を[[位相空間 (物理)|相空間]]と呼び、ある時刻の系の状態は位相空間内の一点であらわされるのだが、その点が動いた軌跡のことを[[トラジェクトリー]]と呼ぶ。

 

[[シュレーディンガー方程式]]に上のポテンシャル U(x) を代入する。

{{Indent|<math>\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{1}{2}kx^2\right]\phi(x)=E\phi</math>}}

N は三方向の量子数(nx,ny,nz)の和で、また E_N は、<math>\frac{(N+2)(N+1)}{2}</math> 重に[[縮退]]している。

 

もうひとつの扱い方は[[生成消滅演算子]]を使用する方法である。

 

''n'' をなんらかの粒子の数と見なすならば、生成演算子は粒子を一つ作り、消滅演算子は一つ減らす働きをする。上の解析的方法とやっていることは同じなのだが、演算子とブラ-ケットの記法を使えば式を計算するよりもずっと楽に扱える。<!--のかな？-->

 

*[[共振]]

*[[格子振動]]

 

{{Link GA|es}}

{{Link FA|ko}}

[[ar:هزاز توافقي]]

[[bg:Хармоничен осцилатор]]