「接ベクトル空間」の版間の差分
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[[多様体]]上の'''接ベクトル空間'''
== 概要 ==
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を与えたとき、 ''t''<sub>0</sub> ∈ (− ε, ε) に対して
:<math> v_{\phi;} : f \mapsto \frac{d}{dt} f \circ \phi(t)|_{t=t_0} </math>
という対応 ''v''<sub>φ</sub> を曲線 φ の ''t'' = ''t''<sub>0</sub> における'''方向微分''' (
:この定義には局所座標系などは全く出てこないので方向微分は座標系に依存しない。
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:<math>\sum_{i=1}^m a_i \left( \frac{\partial }{\partial x_i }\right)_p </math>
:（ただし ''a''<sub>''i''</sub> ∈ '''R''' (1 ≤ ''i'' ≤ ''m'') ）
を、 ''p'' における ''M'' の'''接ベクトル''' (
:''T''<sub>''p''</sub>(''M'') ⊆ ''D''<sup>''r''</sup><sub>''p''</sub>(''M'')
この等号が成り立つのは、 ''M'' が ''C''<sup>∞</sup> 級多様体（滑らかな多様体）であるときに限る。
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''v''(''f'') は接ベクトル ''v'' と関数 ''f'' の組であり、 ''v'' を固定して、 ''f'' に対して値が定まると考えてきた。逆に ''f'' を固定して
: ''df''<sub>''p''</sub> : ''v'' → ''v''(''f'')
という関数も考えることができる。この ''df''<sub>''p''</sub> を ''f'' の ''p'' における '''微分''' (
接ベクトルのなす空間 ''T''<sub>''p''</sub>(''M'') は '''R''' 上の線型空間であることから、 ''T''<sub>''p''</sub>(''M'') から '''R''' への線型写像のなす[[双対ベクトル空間]]
: ''T''<sub>''p''</sub><sup>*</sup>(''M'') = Hom<sub>'''R'''</sub>( ''T''<sub>''p''</sub>(''M'') , '''R''')
が定まるが、 微分 ''df''<sub>''p''</sub> はこの ''T''<sub>''p''</sub><sup>*</sup>(''M'') の元である。 ''T''<sub>''p''</sub><sup>*</sup>(''M'') のことを ''M'' の ''p'' における'''余接ベクトル空間''' (
特に ''p'' を含む座標近傍 (''U'';''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''m''</sub>) があるとき、関数 ''f'' として [[多様体|局所座標系]]の成分の一つである ''x''<sub>''k''</sub> を選べば、その ''p'' における微分は (''dx''<sub>''k''</sub>)<sub>''p''</sub> となり
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:''rank''<sub>''p''</sub>(''f'') ≤ ''min''(''a'',''b'')
である。
== 関連項目 ==
* [[多様体]]
* [[接線]]
* [[接平面]]
[[Category:
[[Category:数学に関する記事]]
[[ca:Espai tangent]]
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