「ベータ分布」の版間の差分

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{{確率分布
|名前=ベータ分布
|型=密度
|画像/確率関数=[[ファイル:Beta distribution pdf.svg|325px|ベータ分布の確率密度関数]]
|画像/分布関数=[[ファイル:Beta distribution cdf.svg|325px|ベータ分布の累積分布関数]]
|母数=α > 0 形状母数<br />β > 0 形状母数
|台=<math>x \in [0; 1]\!</math>
|確率関数=<math>\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!</math>
|分布関数=<math>I_x(\alpha,\beta)\!</math>
|期待値=<math>\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!</math><br /><math>\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψは[[ディガンマ関数]])
|中央値=<math>\begin{matrix}I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)\text{ (in general) }\\[0.5em]
\approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} }\text{ for }\alpha>1, \beta>1\end{matrix}</math>
|最頻値=<math>\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!</math> for α, β >1
|分散=<math>\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!</math><br /><math>\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!</math><br />(ψ<sub>1</sub>は[[ポリガンマ関数|トリガンマ関数]])
|歪度=<math>\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}</math>
|尖度=<math>\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}</math>
|エントロピー=<math>\begin{matrix}\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em]
+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}</math>
|モーメント母関数=<math>1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}</math>
|特性関数=<math>{}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!</math> (see [[Confluent hypergeometric function]])
}}
'''ベータ分布'''(ベータぶんぷ)は、[[確率分布#.E9.80.A3.E7.B6.9A.E5.9E.8B|連続型]]の[[確率分布]]であり、第1種および第2種がある。
 
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