ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続確率分布であり、第1種ベータ分布および第2種ベータ分布がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。
第1種ベータ分布（英: beta distribution of the first kind）の確率密度関数は以下で定義される。
ここで B(α, β) はベータ関数であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ α, β はともに正の実数である。期待値は α/α + β、分散は α β ( α + β ) 2 ( α + β + 1 ) {\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}} である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
ただし h ( η ) = 1 B ( α , β ) , u ( x ) = ( log x , log ( 1 − x ) ) {\displaystyle h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))} である。
累積分布関数は、以下の式で与えられる。
ここで、 ∫ 0 x t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t {\displaystyle \int _{0}^{x}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt} は、不完全ベータ関数であり、 I x ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )} は、正則化不完全ベータ関数である。
a, b, c, p, q が実数パラメータで、0 ≦ c ≦ 1 で、b, p, q が正の時、下記の確率密度関数を一般化ベータ分布（英: generalized beta distribution）という。
c = 0 の時、一般化第1種ベータ分布（英: generalized beta of first kind）という。
c = 1 の時、一般化第2種ベータ分布（英: generalized beta of second kind）という。台は x ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in (0,\infty )\!} 。
形状母数 (実数)
形状母数 (実数)![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
は正則化された不完全ベータ関数![{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64edc7514f5611e9e4650f3584152ab3ac0bb811)
![{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f451e381db241e3b1ec2cc9ba84c2ebf27e93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48b381a21ec9a3f9cf9d2d01ecb7dd88335585bb)
for 
![{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2367c268f610193119758414345f42b6958e0c)
![{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e396e8700267735eb741f73e8906445579c43bc6)
![{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e)
（Confluent hypergeometric functionを参照）
