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数学において、行列 A の'''特異値'''(とくいち、{{lang-en-short|Singular values}})とは、AA<sup>*</sup>の固有値の
==記法==
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▲* m行n列の行列 A<sub>m,n</sub> の特異値をσ<sub>i</sub>(A)と表記する。
==定義==
冒頭部の定義を数学記号で書くと次のようになる。
:<math> \sigma_i(A) = \sqrt{\lambda_i(AA^*)} \quad ( A \in M_{m,n}(R or C) )</math>
特異値はm×nの行列に対して定義される。(固有値はn×nの正方行列でのみ定義される。)
==性質==
*固有値λ(AA<sup>*</sup>)はすべて非負の実数 λ(AA<sup>*</sup>)≧0
:行列 AA<sup>*</sup> はm×mの対称行列(あるいはエルミート行列)で[[行列の定値性#半正定値行列|半正定値]]。よってすべての固有値λ(AA<sup>*</sup>)は非負の実数。
*特異値σ(A)はすべて非負の実数 σ(A)≧0
<!--
*<math> \det(AA^*) = |det(\sqrt{AA^*})|^2 = \left(\prod_i \lambda_{i}^{1/2}(AA^*) \right)^2 = \prod_i \sigma_{i}^2(A)</math>
:注) 行列式はn×nの正方行列に対して定義されるのでm×nの行列 A に直接適用するわけにはいかない。
{{節stub}}
====行列 A が[[正規行列]]( AA<sup>*</sup> = A<sup>*</sup>A ) の場合====
* σ<sub>i</sub>(A) = |λ<sub>i</sub>(A)|
-->
==脚注==
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