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数学線型代数学分野において、行列 A特異値(とくいち、: Singular values)とは、A随伴行列 A* との積 AA*固有値の非負の平方根のことである[1][2][要ページ番号]

定義編集

以下、

  • 行列 A随伴行列A*
  • 行列 A の固有値を λi(A)
  • 行列 A の特異値を σi(A)

と表記する。

冒頭部の定義を数学記号で書くと次のようになる。

 

特異値は m × n の行列に対して定義される(固有値は n × n の正方行列でのみ定義される)。

行列 AA* の性質編集

 
  • 行列 A*An × n のエルミート行列(あるいは対称行列)であり、かつ半正定値行列である。つまり、任意の n 次元の零でないベクトル y について以下の条件を満たす。
 

よって、

  • すべての固有値 λ(AA*) および λ(A*A) は非負の実数 λ ≥ 0 となる。
  • 半正定値平方根行列がただひとつだけ存在する。

特異値の性質編集

注意事項: 行列式トレースなどは正方行列に対して定義されるので m × n の行列 A に直接適用してはならない。

  • 特異値 σ(A) はすべて非負の実数 σ(A) ≥ 0
  •  [注釈 1]
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   [注釈 2]
  • 行列 Am = n正方行列の場合には以下が成り立つ。
    •   [注釈 3]
    • ワイルの不等式
 
  • 行列 Am = n正規行列の場合には以下が成り立つ。
    • 特異値は固有値の絶対値に等しい。  
  • 行列 Am = n の半正定値対称行列(エルミート行列)の場合には以下が成り立つ。
    • 特異値は固有値に等しい。  
  •  の特異値を として、
 

と並べるとき、Banach代数の分野で知られた公式(Gelfand, 1941)[2][要ページ番号]:

 

の一般化として、

 

が成り立つ[3]。この公式はヒルベルト空間上のコンパクト作用素に対しても成立する[4]

脚注編集

出典編集

  1. ^ Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber 2007, pp. 33-34.
  2. ^ a b 山本 2003.
  3. ^ Yamamoto, T. (1967). On the extreme values of the roots of matrices. Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(2), 173-178.
  4. ^ Davis, C. (1970). On a theorem of Yamamoto. Numerische Mathematik, 14(3), 297-298.

注釈編集

  1. ^ 特異値分解で M = UΣV*, M* = (UΣV*)* = *U*。特異値を対角成分に持つ Σ対角行列だから Σ = Σ*
  2. ^ フロベニウスノルム参照
  3. ^ (証明)  .

参考文献編集

  • 山本, 哲朗『数値解析入門』サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月、増訂版。ISBN 4-7819-1038-6
  • Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber (Mar 1, 2007), Numerical Linear Algebra, Texts in Applied Mathematics, 55, Springer, pp. 271, doi:10.1007/978-0-387-68918-0, ISBN 978-0-387-68918-0, http://link.springer.com/book/10.1007/978-0-387-68918-0/page/1 
  • Mandan Lal Mehta (Nov. 2004), Random Matrices (first edition 2004 ed.), Elsevier ltd., p. 284, ISBN 0-12-088409-7, http://books.google.de/books?id=Kp3Nx03_gMwC&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false 
  • [CHAFAÏ] (2009年11月). “SINGULAR VALUES OF RANDOM MATRICES (pdf)”. p. 2. 2013年3月4日閲覧。

関連項目編集