「ジョルダン標準形」の版間の差分
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15行目:
を'''ジョルダン細胞'''という{{Sfn|斎藤|1966|p=187}}。
任意の正方行列 {{mvar|M}} に対して
:<math>
J_{n_1}(\lambda_1) & & 0 \\
& \ddots & \\
23行目:
となる[[正則行列]] {{mvar|P}} が存在する{{Sfn|斎藤|1966|loc=第6章 定理[2.2]}}。
このとき {{math|''λ''<sub>''i''</sub>}} は {{mvar|M}} の[[固有値]]である。
この行列 {{math|''
=== 線形変換 ===
39行目:
{{math|''ƒ''<sub>s</sub>}} を {{mvar|ƒ}} の'''半単純成分'''、{{math|''ƒ''<sub>n</sub>}} を {{mvar|ƒ}} の'''冪零成分'''という。
線型空間 {{mvar|V}} の[[基底 (線型代数学)|基底]]
:<math>\{\, e_{ij} \mid i=1, \dotsc ,k;~j=1, \dotsc ,n_i \,\}</math>
が線形変換 {{mvar|ƒ}} の'''ジョルダン基底''' であるとは、{{math|''e''<sub>''i''<sub>0</sub></sub> {{=}} 0}} とおきたとき
:<math> f( e_{ij} )= \lambda_i e_{ij} + e_{i(j-1)} </math>
51行目:
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix},~
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix},~
</math>
または次で定めるベクトル {{mvar|u}}, {{mvar|v}} は {{math|''Mu'' {{=}} 3''u''}} と {{math|''Mv'' {{=}} 3''v'' + ''u''}} とを満たすので行列 {{mvar|M}} のジョルダン基底である。
:<math>
u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},~
v = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \end{pmatrix}
</math>
この行列 {{mvar|M}} の半単純成分と冪零成分への分解は次のようになる。
:<math>
M = \begin{pmatrix} 3 & \\ & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
</math>
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