「既約多項式」の版間の差分
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[[代数学]]において'''既約多項式'''（きやくたこうしき、{{lang-en-short|irreducible polynomial}}）とは、正の[[#定義|次数]]をもつ[[多項式]]の積として表せない多項式のことである。[[環論]]的には多項式環における
== 定義 ==
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整域 {{mvar|D}} 上の一変数多項式
:<math> f(X) = a_0 + a_1X^1 + \dotsb + a_nX^n \in D[X] </math>
をとる。このとき {{math|''a<sub>i</sub>'' ≠ 0}} となる最大の自然数 {{mvar|i}} を多項式 {{mvar|ƒ}} の'''次数'''といい、{{math|deg(''ƒ'')}} で表す。ただし、このような数が存在しないとき ―つまり {{math|''ƒ''(''X'') {{=}} ''a''<sub>0</sub>}} のとき― 便宜的に {{math|''a''<sub>0</sub> ≠ 0}} ならば {{math|deg(''ƒ'') {{=}} 0}} また {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 0}} ならば {{math|deg(''ƒ'') {{=}} −∞}} と定める<ref>ここで元 {{math|−∞}} は二条件 {{math|−∞ ∉ '''Z'''}} と {{math|∀''m'' ∈ '''Z''', −∞ < ''m'', −∞ + ''m'' {{=}} −∞ {{=}} −∞ + −∞}} を満たすものとする。</ref>。
このとき、すべての {{math|''g''(''X''), ''h''(''X'') ∈ ''D''[''X'']}} について
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[[整域]] {{mvar|D}} 上の一変数多項式
:<math> f(X) = a_0 + a_1X^1 + \dotsb + a_nX^n \in D[X] </math>
をとり、整域 {{mvar|D}} の[[商体]]を {{mvar|F}} とおく。整域 {{mvar|D}} のある
:<math>\begin{cases}
a_i &\equiv 0 \pmod{(p)} \qquad (0 \leq i < n) \\
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|ref = harv
}}
== 関連項目 ==
* [[極大イデアル]]
* [[有理根定理]]
{{デフォルトソート:きやくたこうしき}}
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