「デデキント環」の版間の差分
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ARAKI Satoru (会話 | 投稿記録) +有限生成加群の構造定理 |
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== 定義 ==
体でない整域 ''
* ''
* ''
* ''
* ''
'''デデキント環'''とは、上記条件の1つ、従ってすべてを満たすような整域のことである。体については、デデキント環に含める場合と含めない場合がある。
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* [[単項イデアル整域]]はデデキント環である。
* ''K'' を[[有理数|有理数体]] '''Q''' の[[有限次拡大体]]とすると、''K'' の整数環 ''O<sub>K</sub>'' （''K'' における '''Z''' の整閉包）はデデキント環である。
== 加群の構造 ==
デデキント環 ''R'' 上の[[有限生成加群]] ''M'' の構造は次の様になる{{sfn|Auslander|Buchsbaum|2014|loc=Theorem 5.1}}。有限生成加群 ''M'' に対して、ある零でない整イデアルの列 ''I''<sub>1</sub> ⊆ … ⊆ ''I''<sub>''n''</sub> と階数有限の[[自由加群]] ''F''、[[可逆イデアル]] ''I'' が存在して同型
:<math> M \cong R/I_1 \oplus \dotsb \oplus R/I_n \oplus F \oplus I </math>
が成り立つ。また、このイデアル ''I'', ''I''<sub>1</sub>, …, ''I''<sub>''n''</sub> と自由加群 ''F'' は有限生成加群 ''M'' により同型を除いて一意に定まる。
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}
== 参考文献 ==
*{{cite book
|last1 = Auslander
|first1 = Maurice
|last2 = Buchsbaum
|first2 = David
|year = 2014
|title = Groups, Rings, Modules
|url = {{google books|MVEuBAAAQBAJ|Groups, Rings, Modules|page=463|plainurl=yes}}
|publisher = Dover
|isbn = 978-0-486-49082-3
|ref = harv
}}
== 関連項目 ==
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* [[主イデアル整域]]（PID）
* [[一意分解環]]（UFD）
* [[遺伝環]]
[[category:可換環論|ててきんとかん]]
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