「被覆空間」の版間の差分
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{{正確性|date=2015年2月}}
[[File:Covering map.svg|thumb|被覆写像 p : Y → X によって底空間 X の開集合 U は被覆空間 Y の同相な開集合 S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>, S<sub>3</sub>, … によって「均一に被覆」されている。]]
数学、特に[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]において
被覆空間は[[ホモトピー論]]、[[調和解析]]、[[リーマン幾何学]]、[[微分幾何学]]で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、[[分岐 (数学)#代数トポロジーでは|分岐]]は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像は[[ホモトピー群]]、特に[[基本群]]の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と [[基本群]] π<sub>1</sub>(X) の共役な部分群の類全体との間に[[全単射]]が存在する（被覆の分類定理）{{sfn|Bredon|1993|loc={{google books quote|id=G74V6UzL_PUC|page=154|Theorem 8.1}}}}。
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== 定義 ==
[[位相空間]] C から X への[[連続写像|連続]][[全射]] p : C → X が'''被覆写像'''であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p<sup>−1</sup>(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう{{sfn|Munkres|2000|p=336}}。このとき C を'''被覆空間'''、 X を'''底空間'''という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
底空間の点 x における逆像 p<sup>−1</sup>(x) は x 上の[[ファイバー]]と呼ばれ、必然的に[[離散空間]]となる{{sfn|Munkres|2000|p=336}}。
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===他の定義===
被覆写像の定義では位相空間
<!--===Alternative definitions===
Many authors impose some [[connectedness|connectivity]] conditions on the spaces ''X'' and ''C'' in the definition of a covering map. In particular, many authors require both spaces to be [[path-connected]] and [[locally path-connected]].<ref>{{Cite book|title = An Introduction to Knot Theory|date = 1997|last = Lickorish|pages = 66–67}}</ref><ref>{{Cite book|title = Topology and Geometry|last = Bredon|year = 1997|isbn = 978-0387979267}}</ref> This can prove helpful because many theorems hold only if the spaces in question have these properties. Some authors omit the assumption of surjectivity, for if ''X'' is connected and ''C'' is nonempty then surjectivity of the covering map actually follows from the other axioms.-->
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* すべての位相空間は恒等写像によって自明に自分自身を被覆する。
[[File:DoubleCoveredCircle.svg|thumb|100px|S<sup>1</sup> は S<sup>1</sup> の二重被覆である。]]
* 複素平面上の単位円を S<sup>1</sup> と書く。すると、
::p(z) = z<sup>n</sup>
:により、写像 p :
* 位相空間 X が[[普遍被覆]]を持つことは、連結かつ局所弧状連結かつ[[半局所単連結]]であることと同値である。
* <math>\mathbb{R}</math> は、単位円 S<sup>1</sup> の普遍被覆である。
::p(t) = exp(
:により、写像 p : '''R''' → S<sup>1</sup> は被覆で、S<sup>1</sup> の各点は無限回被覆される。
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* Every immersion from a compact manifold to a manifold of the same dimension is a covering of its image.-->
* 有限群のアーベル的な無限分岐被覆グラフは、結晶構造の抽象化したものとみなすことができる<ref>[[
<!--* Infinite-fold abelian covering graphs of finite graphs are regarded as abstractions of crystal structures. <ref>[[Toshikazu Sunada| Sunada T.]] (2012), ''Topological Crystallography ---With a View Towards Discrete Geometric Analysis---", Surveys and Tutorials in the Applied Mathematical Sciences, Vol. 6, Springer </ref> For instance the [[diamond cubic|diamond crystal]] as an abstarct graph is the maximal abelian covering graph of the [[dipole graph]] D<sub>4</sub>-->
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