「射影加群」の版間の差分

:<math>\cdots \to P_{n+1} \overset{d_{n+1}}{\to} P_n \to \cdots \to P_1 \overset{d_1}{\to} P_0 \overset{d_0}{\to} M \to 0</math>

を {{mvar|M}} の'''射影分解'''という{{sfn|Weibel|1994|loc={{google books quote|id=flm-dBXfZ_gC|page=34|Definition 2.2.4}}}}。特にすべての {{mvar|i}} &ge; 0 に対して <math>P_i \to \operatorname{im} d_i </math> が[[射影被覆]]となるときは'''極小射影分解'''という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての {{mvar|i}} > {{mvar|n}} に対し<math>P_{i}=0</math> であるような射影分解を'''長さ''' {{mvar|n}} の射影分解という。そのような {{mvar|n}} が存在する場合その最小値を {{mvar|M}} の'''射影次元'''といい、存在しない場合は射影次元は ∞ という。ただし、{0} の射影次元は -1 とする。射影次元は pd(''M'') と書かれる。これは ''M'' の極小射影分解の長さに等しい。{{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} と整数 ''n'' &ge; 0 に対して次は同値{{sfn|Weibel|1994|loc=Lemma 4.1.6}}。