「群のコホモロジー」の版間の差分
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41行目:
:<math> H^n(G, M) = \operatorname{Ext}^n_{\Z[G]}(\Z, M) </math>
がある。これらの {{math|Ext}} 群は {{math|'''Z'''}} の[[射影分解]]から計算することもでき、そのような分解は {{mvar|G}} のみに依存し、{{mvar|M}} には依存しないという利点がある。
<!-- 以下とりあえず訳したが、一部の記号がきちんと定義されていないのでとりあえずコメントアウト。
We recall the definition of Ext more explicitly for this context. Let ''F'' be a [[projective resolution|projective <math>\Z[G]</math>-resolution]] (e.g. a [[free resolution| free <math>\Z[G]</math>-resolution]]) of the trivial <math>\Z[G]</math>-module <math>\Z</math>:
144行目:
== 低次元のコホモロジー群 ==
=== {{math|''H''<sup>1</sup>}} ===
1次コホモロジー群はいわゆる'''微分'''（{{lang-en-short|crossed homomorphism}}）——つまり写像（の集合）{{math|''f'' : ''G'' → ''M''}} ですべての {{math|''a'', ''b'' ∈ ''G''}} に対して {{math|''f''(''ab'') {{=}} ''f''(''a'') + ''af''(''b'')}} を満たすもの——のいわゆる'''内部微分'''（{{lang-en-short|principal crossed homomorphism}}）——つまり写像 {{math|''f'' : ''G'' → ''M''}} である固定された {{math|''m'' ∈ ''M''}} に対して {{math|''f''(''a'') {{=}} ''am'' − ''m''}} で与えられるもの——による商である。これは双対鎖などの定義から従う。
もし {{mvar|G}} の {{mvar|M}} への作用が自明ならば、これは[[群準同型]] {{math|''G'' → ''M''}} からなる群 {{math|''H''<sup>1</sup>(''G'', ''M'') {{=}} Hom(''G'', ''M'')}} となる。
175行目:
を誘導する。いわゆる[[連結準同型]]
:<math> \delta^n \colon H^n(G, N) \to H^{n+1}(G, L) </math>
は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる<ref>{{harvtxt|Milne|2008|loc=Remark II.1.21}} 参照。</ref>。もし {{mvar|c}} が {{math|''H''<sup>''n''</sup>(''G'', ''N'')}} の {{mvar|n}} 次の双対鎖 {{math|φ : ''G''<sup>''n''</sup> → ''N''}} に代表される元ならば、{{math|δ<sup>''n''</sup>(''c'')}} は {{math|''d''<sup>''n''+1</sup>(ψ)}} に代表される。ここで {{math|ψ}} は {{math|φ}} を「持ち上げて」（つまり {{math|φ}} が {{math|ψ}} と全射 {{math|''M'' → ''N''}} の合成となるようにして）得られる {{mvar|n}} 次の双対鎖 {{math|''G''<sup>''n''</sup> → ''M''}} である。
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===Functoriality===
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