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積
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で与えられる。{{mvar|G}} 加群の射 {{math|''M'' &rarr; ''N''}} が与えられたとき、コホモロジー群の射 {{math|''H''<sup>''n''</sup>(''G'', ''M'') &rarr; ''H''<sup>''n''</sup>(''G'', ''N'')}} を得ることができる。
 
===Products 積 ===▼
位相幾何学や微分幾何学における他のコホモロジー論（たとえば[[特異コホモロジー]]や[[ド・ラム・コホモロジー]]）などと同様に群のコホモロジーも積構造を持っている。どんな {{mvar|G}} 加群 {{mvar|M}} と {{mvar|N}} に対しても'''カップ積'''（{{lang-en-short|cup product}}）と呼ばれる自然な写像
:<math>H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m} (G, M \otimes N)</math>▼
がある。これは <math>\textstyle \bigoplus_{n \ge 0} H^n(G, R)</math> に次数つき反可換環の構造を与える。ここで {{mvar|R}} は {{math|'''Z'''}} や {{math|'''Z'''/''p''}} などの環である。有限群 {{mvar|G}} に対して、このコホモロジー環の標数 {{mvar|p}} における偶数次部分 <math>\textstyle \bigoplus_{n \ge 0} H^{2n}(G, \Z/p)</math> は {{mvar|G}} の群構造に関する多くの情報を持っている。たとえばこの環の[[クルル次元]]はアーベル部分群 {{math|('''Z'''/''p'')<sup>''r''</sup>}} の最大ランクに等しい<ref>[[ダニエル・キレン|Quillen, Daniel]]. ''The spectrum of an equivariant cohomology ring. I. II.'' Ann. Math. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).</ref>。
 
{{mvar|G}} を位数2の離散群とする。実[[射影空間]] {{math|'''P'''<sup>&infin;</sup>('''R''')}} は群 {{mvar|G}} の分類空間である。{{mvar|''k'' {{=}} '''F'''<sub>2</sub>}} を[[有限体|二元体]]とする。このとき
:<math>H^*(G;, k) \cong k[x],\,</math>▼
となる。これは {{math|'''P'''<sup>&infin;</sup>('''R''')}} の[[胞体コホモロジー]]環だからである。
<!--
▲===Products===
Similarly to other cohomology theories in topology and geometry, such as [[singular cohomology]] or [[de Rham cohomology]], group cohomology enjoys a product structure: there is a natural map called ''cup product'':
 
▲:<math>H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m} (G, M \otimes N)</math>
 
for any two ''G''-modules ''M'' and ''N''. This yields a graded anti-commutative ring structure on <math>\oplus_{n \geqslant 0} H^n(G, R),</math> where ''R'' is a ring such as '''Z''' or '''Z'''/''p''. For a finite group ''G'', the even part of this cohomology ring in characteristic ''p'', <math>\oplus_{n \geqslant 0} H^{2n}(G, \Z/ p)</math> carries a lot of information about the group the structure of ''G'', for example the [[Krull dimension]] of this ring equals the maximal rank of an abelian subgroup <math>(\Z / p)^r</math>.<ref>Quillen, Daniel. ''The spectrum of an equivariant cohomology ring. I. II.'' Ann. Math. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).</ref>
 
For example, let ''G'' be the group with two elements, under the discrete topology. The real [[projective space]] '''P'''<sup>∞</sup>('''R''') is a classifying space for ''G''. Let ''k'' = '''F'''<sub>2</sub>, the [[field (mathematics)|field]] of two elements. Then
 
▲:<math>H^*(G;k)\cong k[x],\,</math>
 
a polynomial ''k''-algebra on a single generator, since this is the [[singular cohomology|cellular cohomology]] ring of '''P'''<sup>∞</sup>('''R''').
 
===Künneth formula===
 
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