「積率母関数」の版間の差分
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M_{X+Y}(t) = E(e^{t(X+Y)}) = E(e^{tX}e^{tY}) = E(e^{tX})E(e^{tY}) = M_X(t)M_Y(t)
</math>
=== 独立確率変数の総和(一般化) ===
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; [[確率母関数]]
: 確率母関数は <math>G(z) = E[z^X]\,</math> で定義される。したがって、<math>G(e^t) = E[e^{tX}] = M_X(t)\,</math> である。
== 具体例 ==
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;"
|-
! 分布
! 積率母関数 <math>M_X(t)</math>
|-
| [[二項分布]] <math>B(n, p)</math> || <math>(1-p+pe^t)^n</math>
|-
| [[コーシー分布]] || 存在しない<ref>Allan Gut: ''Probability: A Graduate Course.'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.</ref>。
|-
| [[指数分布]] <math>\mathrm{Exp}(\lambda)</math> || <math>\frac{\lambda}{\lambda-t}</math> for <math>t < \lambda</math>
|-
| [[正規分布]] <math>N(\mu,\sigma^2)</math> || <math>\exp{\left(\mu t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)}</math>
|-
| [[ポアソン分布]] <math>Po(\lambda)</math> || <math>\exp(\lambda(e^t-1))</math>
|}
== 注 ==
{{reflist}}
{{DEFAULTSORT:せきりつほかんすう}}
| |||