「微分」の版間の差分
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→{{anchors|実関数の微分法}}実函数の微分法: 節冒頭の説明をリライトして、サブセクション「直観的な説明」とした。微分係数の計算法の説明に踏み込んだ部分は、「厳密な定式化」の内容と重複しているので削除。 |
→{{anchors|実関数の微分法}}実函数の微分法: 超準解析による定式化を節末尾に移動。 |
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: <math>f'(a) = {f'}_-(a) = {f'}_+(a)</math>
{{math|''x'' {{=}} ''a''}} において {{math|''f''(''x'')}} が微分可能であることの[[同値|必要十分条件]]である。このとき、函数 {{math|''f''}} の {{math|''x'' {{=}} ''a''}} における微分係数 {{math|''f ′''(''a'')}} を求めるには、左側か右側かどちらか一方の極限だけを計算すればよいことになる。
==== 超準解析 ====▼
実数を拡大して[[超実数]] {{math|'''R'''<sup>*</sup> (⊃ '''R''')}} の体系の中で考えるとき、実函数 {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} の実点 {{math|''x''}} における微分係数は（{{mvar|f}} の超実数への自然延長をやはり {{mvar|f}} と書くとき）、[[無限小]] {{math|∆''x''}} に対して {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x''+ ∆''x'') - ''f''(''x'')}} とすれば、{{math|Δ''y''}} の {{math|Δ''x''}} に関する商 {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} の{{仮リンク|標準部|en|shadow (mathematics)}} を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 {{math|∆''x''}} の取り方に依らずに定まるとき、すなわち▼
: <math>\exists! m\in \mathbb{R}, \forall \mathit{\Delta x}(\mathit{\Delta x} \in \operatorname{monad}(0)\land \mathit{\Delta x}\ne 0),\; m = \operatorname{st}\!\left( \frac{f(a+\mathit{\Delta x}) - f(a)}{\mathit{\Delta x}} \right) </math>▼
が成り立つとき、この実数 {{mvar|m}} を実函数 {{mvar|f}} の {{mvar|a}} における'''微分係数'''と呼ぶ▼
=== 連続性と可微分性 ===
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函数の二階導函数がその前後で符号を変える点を'''変曲点'''という{{sfn|Apostol|1967|loc=§4.18}}。変曲点において二階導函数は零になること（例えば 函数 {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>3</sup>}} の変曲点 {{math|''x'' {{=}} 0}} の場合）もあれば、存在しないこと（たとえば {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} の変曲点 {{math|''x'' {{=}} 0}} の場合）もある。変曲点の前後で函数は[[凸函数]]から[[凹函数]]へ、あるいはその逆へ変わる。
▲実数を拡大して[[超実数]] {{math|'''R'''<sup>*</sup> (⊃ '''R''')}} の体系の中で考えるとき、実函数 {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} の実点 {{math|''x''}} における微分係数は（{{mvar|f}} の超実数への自然延長をやはり {{mvar|f}} と書くとき）、[[無限小]] {{math|∆''x''}} に対して {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x''+ ∆''x'') - ''f''(''x'')}} とすれば、{{math|Δ''y''}} の {{math|Δ''x''}} に関する商 {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} の{{仮リンク|標準部|en|shadow (mathematics)}} を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 {{math|∆''x''}} の取り方に依らずに定まるとき、すなわち
▲: <math>\exists! m\in \mathbb{R}, \forall \mathit{\Delta x}(\mathit{\Delta x} \in \operatorname{monad}(0)\land \mathit{\Delta x}\ne 0),\; m = \operatorname{st}\!\left( \frac{f(a+\mathit{\Delta x}) - f(a)}{\mathit{\Delta x}} \right) </math>
▲が成り立つとき、この実数 {{mvar|m}} を実函数 {{mvar|f}} の {{mvar|a}} における'''微分係数'''と呼ぶ
== 記法について ==
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