2018年12月26日 (水) 00:33時点における版編集 Ymatz (会話 \| 投稿記録) 248 回編集 →‎高階微分: 全体をリライト。ここでの主題と関係の薄い注を削除。 ← 古い編集		2018年12月26日 (水) 00:36時点における版編集取り消し Ymatz (会話 \| 投稿記録) 248 回編集 →‎多項式近似への応用: 全体をリライト。多項式関数への言及は全体の意図をあいまいにすると考えて削除。ワイエルシュトラスの近似定理へのリンクは、ここでは無関係なので削除。新しい編集 →
99行目: === 多項式近似への応用 === {{~~seealso~~main\|~~[[ワ~~テイ~~エルシュト~~ラスーの近似定理]]}} 関数 {{mvar\|f}} が開区間 {{mvar\|I}} で {{math\|''n'' − 1}} 階微分可能で、{{math\|''n'' − 1}} 階導関数 {{math\|''f''{{exp\|(''n'' − 1)}}}} が {{math\|''x'' {{=}} ''a''}} で微分可能なとき、{{math\|''f''{{exp\|(''n'' − 1)}}}} の {{math\|''x'' {{=}} ''a''}} における微分係数を {{math\|''f''{{exp\|(''n'')}}(''a'')}} とすれば [[実数直線]]上で定義される任意の[[多項式函数]]は無限回微分可能である。標準的な{{仮リンク\|微分法則\|en\|differentiation rules}}により、次数 {{mvar\|n}} の多項式は {{mvar\|n}} 回微分して[[定数函数]]にすることができる。それ以上高階の導函数は恒等的に零に等しい。特にそれらは存在するのだから、多項式函数は {{mvar\|C{{sup\|∞}}}}-級の滑らかな函数である。 : <math> f(xa+h) ~~\approx~~= f(xa) + f'(xa)h + \~~tfrac~~frac{1f''(a)}{2} h^2 + \dots + \frac{f''^{(xn)}(a)}{n!} h^2n + o(h^n)</math>▼ が成り立つ（[[テイラーの定理]]のペアノの剰余項による形）。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。点 {{mvar\|x}} において微分可能な函数 {{mvar\|f}} の（高階も含めた）微分係数は {{mvar\|x}} の近くでの {{mvar\|f}} の多項式近似を与える。例えば {{mvar\|f}} が二回微分可能ならば、近似 ▲: <math> f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f''(x) h^2</math> が ~~: <math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f''(x) h^2}{h^2}=0</math>~~ を満たす意味で成り立つ。{{math\|''f''}} が無限回微分可能ならばこれは {{mvar\|x}} の周りでの[[テイラー級数]]を {{math\|''x'' + ''h''}} において評価したものの初めの方の項である。 === 微分と関数の増減・凹凸 ===

「微分」の版間の差分