「閉集合」の版間の差分

* 閉集合の[[有限集合|有限]]個の[[合併 (集合論)|合併]]は閉集合である。

* [[空集合]]は閉集合である。

 

実は、集合 {{mvar|X}} と {{mvar|X}} の[[集合族|部分集合族]] {{mathcal|ℱ}} でこれらの性質を満足するものが与えられたとき、{{mathcal|ℱ}} を閉集合系とする {{mvar|X}} 上の位相が一意に定まる。閉集合が上記の交叉性質を持つことは、空間 {{mvar|X}} における部分集合 {{mvar|A}} の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]（{{mvar|A}} を含む {{mvar|X}} の閉集合の中で最小のもの）を定義するのに利用できる。具体的には、{{mvar|A}} の閉包は、{{mvar|A}} を含む閉集合すべての交わりとして構成することができる。

* [[実数]]からなる[[閉区間]] {{closed-closed|''a'', ''b''}} は閉である。

* [[単位区間]] {{closed-closed|0, 1}} は実数全体の成す距離空間 {{mathbf|ℝ}} において閉であり、同様に {{math|0}} 以上 {{math|1}} 以下の[[有理数]]全体の成す集合 {{math|{{closed-closed|0, 1}} ∩ '''ℚ'''}} は有理数の空間 {{mathbf|ℚ}} において閉であるが、{{math|{{closed-closed|0, 1}} ∩ '''ℚ'''}} は {{mathbf|ℝ}} における閉集合ではない。

* 開でも閉でもある集合もあり、[[開かつ閉集合]] (cl­open set) と呼ばれる。

* [[カントール集合]]は、それが全て境界点からなり至る所疎 (nowhere dense) であるという意味で、普通の閉集合ではない。

* [[整数]]全体の集合 {{mathbf|ℤ}} は無限かつ非有界な {{mathbf|ℝ}} の閉集合である。

* 位相空間 {{mvar|X, Y}} の間の写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が[[連続写像|連続]]となるためには、{{mvar|Y}} における任意の閉集合の逆像が {{mvar|X}} において閉であることが必要十分である。