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== 数学的性質 ==
* 素数階乗は[[単偶数]]になる。従って、Nが[[30|三十]]（= [[2]]×[[3]]×[[5]]）を割り切れる単偶数[[位取り記数法|進法]]では、{{math|5#}} 以上の素数階乗数は全て一の位が {{math|0}} になる。[[六進法]]なら[[6|六]]の位は {{math|1, 5}} のいずれかに限られであり、[[十進法]]なら[[10|十]]の位は {{math|1, 3, 7, 9}} のいずれかに限られる。
* [[素数が無数に存在することの証明]]の証明に 使う用いられることが できある。 ▼** 十進法では、{{math|5# {{=}} 30}} 以上の数に、{{math|7}} 以上の素数（一の位に {{math|5}} を含まない[[奇数]]）を掛けても、十の位が {{math|5}} や[[偶数]]になることはない。
: 略証 明：最大の素数の存在を仮定し、それを {{math|''p''{{sub|max}}}} とおくと、{{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は {{math|''p''{{sub|max}}}} 以下の[[約数]]をもたない。したがって {{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は素数であることになるが、これは {{math|''p''{{sub|max}}}} を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。 （証明終）▼** 六進法では、{{math|5# {{=}} 50}} 以上の数に、{{math|5}} 以上の素数（一の位に {{math|3}} を含まない奇数）を掛けても、六の位が {{math|3}} や偶数になることはない。
:実際には、素数 {{mvar|p}} に対する {{math|''p''# + 1}} は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては {{math|11# + 1 {{=}} 2311}} などが、合成数である例としては {{math|13# + 1 {{=}} 30031 {{=}} 59 × 509}} などがある。いずれにせよ、{{math|''p''# + 1}} の素因子は全て {{mvar|p}} よりも大きい。
▲*[[素数が無数に存在することの証明]]の証明に使うことができる。
* 全ての[[高度合成数]]は素数階乗数の[[累乗数]]の積で表される。 ▼▲:略証：最大の素数の存在を仮定し、それを {{math|''p''{{sub|max}}}} とおくと、{{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は {{math|''p''{{sub|max}}}} 以下の[[約数]]をもたない。したがって {{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は素数であることになるが、これは {{math|''p''{{sub|max}}}} を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。
:このように[[背理法]]を用いて最大の素数の存在を否定する方法は[[紀元前]]から知られていた。
::実際に、素数 {{mvar|p}} に対し {{math|''p''# + 1}} の素因数はいずれも {{mvar|p}} よりも大きく、素数とは限らない<ref>一般に大きな数の[[素数判定]]や[[素因数分解]]は簡単ではない。</ref>。そのような最小の例として、{{math|''p'' {{=}} 13}} がある。
:::{{math|13# + 1 {{=}} 30031 {{=}} 59 × 509}}
::上記のように、{{mvar|p}} ({{math|{{=}} 13}}) よりも大きな素数が得られる。
▲*全ての[[高度合成数]]は素数階乗数の[[累乗数]]の積で表される。
::{{math|[[720]] {{=}} 2{{sup|2}} × 6{{sup|1}} × 30{{sup|1}}}}
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