素数階乗(そすうかいじょう、: Primorial)とは、2 以上の自然数に対してそれ以下の素数全ての総乗のことである。自然数 n の素数階乗は、記号では n# で表す。

階乗(黄色)と素数階乗(赤)の値の推移
2# = 2
3# = 3 × 2 = 6
4# = 3# = 6
5# = 5 × 3# = 30
6# = 5# = 30

これらから分かるように n# は、 n 以下の最大の素数を p として、p# に等しい。p に素数の値を小さい順に代入していくことより、素数階乗の値は小さい順に[1]

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …

数学的性質編集

証明:最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと、pmax# + 1pmax 以下の素数で割り切れない。仮定より pmax# + 1 未満の素数は以上で全てなので pmax# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって pmax# + 1 は素数でなければならないことになるが、これは pmax を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。(証明終)
実際には、素数 p に対する p# + 1 は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては 11# + 1 = 2311 などが、合成数である例としては 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素因子は全て p よりも大きい。
720 = 22 × 61 × 301

素数階乗数の一覧編集

素数階乗数の最初の1個〜10個を下記する。

p01# = 02# = 0000000000002
p02# = 03# = 0000000000006
p03# = 05# = 0000000000030
p04# = 07# = 0000000000210
p05# = 11# = 000000002 310
p06# = 13# = 000000030 030
p07# = 17# = 000000510 510
p08# = 19# = 00009 699 690
p09# = 23# = 00223 092 870
p10# = 29# = 6 469 693 230

次に11個〜20個を下記する。

p11# = 31# = 00000000000000000000200 560 490 130
p12# = 37# = 0000000000000000007 420 738 134 810
p13# = 41# = 0000000000000000304 250 263 527 210
p14# = 43# = 000000000000013 082 761 331 670 030
p15# = 47# = 000000000000614 889 782 588 491 410
p16# = 53# = 00000000032 589 158 477 190 044 730
p17# = 59# = 0000001 922 760 350 154 212 639 070
p18# = 61# = 0000117 288 381 359 406 970 983 270
p19# = 67# = 007 858 321 551 080 267 055 879 090
p20# = 71# = 557 940 830 126 698 960 967 415 390

脚注編集

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関連項目編集