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「一様収束」の版間の差分

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→‎積分: 自明な気もするが、実際的によく使いそうな形に言及しておく
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=== 積分 ===
微分の場合と同様に、積分と極限の交換をしたいことがある。[[リーマン積分]]に対しては、一様収束を仮定すればよい：
: '''定理''' [[コンパクト]]な区間 ''{{mvar|I''}} 上で定義されたリーマン可積分関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} が極限 ''{{mvar|f''}} に一様収束するならば、 ''{{mvar|f''}} もリーマン可積分であり <math> {\textstyle \int_I f(x) \, dx} = \lim_{n \to \infty} {\textstyle \int_I f_n(x) \, dx }</math> が成り立つ。
系として、特にコンパクトな区間 ''{{mvar|I''}} 上で定義されたリーマン可積分関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} に対して、級数 <math> \textstyle f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) </math> が ''{{mvar|I''}} 上で一様収束しているならば <math> {\textstyle \int_I f(x) \, dx} = \sum_{n=1}^\infty {\textstyle \int_I f_n(x) \, dx }</math> のように項別積分できる。
<!-- %% 未訳出部分。後半は英語版の最新版では既に除去されている（から、別にわざわざ訳さなくともよいかも）。
Much stronger theorems in this respect, which require not much more than pointwise convergence, can be obtained if one abandons the Riemann integral and uses the [[Lebesgue integration|Lebesgue integral]] instead.
 
: If <math>\scriptstyle S</math> is a [[compact space|compact]] interval (or in general a compact topological space), and <math>\scriptstyle (f_n)</math> is a [[monotonic|monotone increasing]] sequence (meaning <math>\scriptstyle f_n(x) \leq f_{n+1}(x)</math> for all ''n'' and ''x'') of ''continuous'' functions with a pointwise limit <math>\scriptstyle f</math> which is also continuous, then the convergence is necessarily uniform ([[Dini's theorem]]). Uniform convergence is also guaranteed if <math>\scriptstyle S</math> is a compact interval and <math>\scriptstyle(f_n)</math> is an [[equicontinuity|equicontinuous]] sequence that converges pointwise.-->
-->
 
=== 解析性 ===
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