2019年4月3日 (水) 04:28時点における版編集 ARAKI Satoru (会話 \| 投稿記録) 拡張承認された利用者 3,159 回編集編集の要約なし ← 古い編集		2019年8月30日 (金) 20:52時点における版編集取り消し Cewbot (会話 \| 投稿記録) ボット 741,321 回編集 m bot: 解消済み仮リンク冪等行列を内部リンクに置き換えます新しい編集 →
44行目: * [[行列式]]の場合と異なり積のトレースはトレースの積とは一致しないが、[[クロネッカー積]]（行列の[[テンソル積]]）のトレースはトレースの積に一致する: {{math\|tr(''X'' &otimes; ''Y'') {{=}} tr(''X'')tr(''Y'')}}. * {{mvar\|A}} が[[対称行列\|対称]]かつ {{mvar\|B}} が[[歪対称行列\|反対称]]ならば {{math\|tr(''AB'') {{=}} 0}} である。 * [[単位行列]] {{mvar\|I{{sub\|n}}}} のトレースは考えている空間の次元 {{mvar\|n}} である（その意味で次元の概念をトレースを用いて一般化することもできる）。同様に、~~{{仮リンク\|~~[[冪等行列~~\|en\|idempotent matrix}}~~]] {{mvar\|A}}（つまり {{math\|''A''<sup>2</sup> {{=}} ''A''}}）のトレースは {{mvar\|A}} の[[行列の階数\|階数]]であり、また[[冪零行列]]のトレースは零である。より一般に、行列 {{mvar\|A}} の[[固有多項式]]が {{math\|1=''f''(''x'') = (''x'' − ''λ''<sub>1</sub>)<sup>''d''<sub>1</sub></sup>···(''x'' − ''λ''<sub>''k''</sub>)<sup>''d''<sub>''k''</sub></sup>}} と因数分解できるならば : {{math\|tr(''A'') {{=}} ''d''{{sub\|1}}λ{{sub\|1}} + … + ''d''{{sub\|''k''}}λ{{sub\|''k''}}}}. 任意の正方行列 {{mvar\|A, B}} に対して、それらの（環論的）[[交換子]]のトレースは消える: {{math\|tr([''A'',''B'']) {{=}} 0}}（リー環の言葉で言えば「跡写像は行列リー環 {{math\|𝔤𝔩{{sub\|''n''}}}} からスカラーへの写像である」（[[#リー環上の写像として\|後述]]）。特に相似不変性を考慮すれば、単位行列がどんな行列の対の交換子とも相似にならないことが分かる。逆に任意のトレース零な正方行列は交換子の線型結合として書ける。さらに言えば、任意のトレース零な正方行列は対角成分が全て零の正方行列と[[ユニタリ同値]]になる。

「跡 (線型代数学)」の版間の差分