「素数階乗」の版間の差分

== 数学的性質 ==

* {{math|5#}} 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。

:証明：最大の素数の存在を仮定し、それを {{math|''p''{{sub|max}}}} とおくと、{{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は {{math|''p''{{sub|max}}}} 以下の素数で割り切れない。仮定より {{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} 未満の素数は以上で全てなので {{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって {{math|''p''{{sub|max}}# + 1}} は素数でなければならないことになるが、これは {{math|''p''{{sub|max}}}} を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。（証明終）

:実際には、素数 {{mvar|p}} に対する {{math|''p''# + 1}} は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては {{math|11# + 1 {{=}} 2311}} などが、合成数である例としては {{math|13# + 1 {{=}} 30031 {{=}} 59 × 509}} などがある。いずれにせよ、{{math|''p''# + 1}} の素因子は全て {{mvar|p}} よりも大きい。