「複素数の絶対値」の版間の差分
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[[画像:Complex number.svg|thumb|複素数 {{mvar|z}} の絶対値 {{math|{{abs|''z''}}}} は、[[複素数平面]]上において、原点 {{math|O(0)}} と {{math|P(''z'')}} の距離 {{math|OP}} に等しい。]]
[[数学]]における[[複素数]]の'''絶対値'''（ぜったいち、{{lang-en-short|''absolute value''}}, {{lang-fr-short|''module''; '''母数'''}}）とは、[[複素数平面]]における、原点 {{math|O(0)}} との[[ユークリッド距離]]として定義できる。これは、[[実数]]の[[絶対値]]の、複素数 {{math|'''C'''}} への（唯一の）[[ノルム代数|乗法的ノルム]]として特徴付けることができる。複素数 {{mvar|z}} の絶対値は {{math|{{abs|''z''}}}} などで表される。
具体的には、複素数 {{math|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}}（{{math|''a'', ''b''}} は実数）（{{mvar|i}} は[[虚数単位]]）の'''絶対値'''は次の式で定義される：
:<math>|z|:=\sqrt{a^2+b^2}</math>
複素数の絶対値の概念は
用語として ''module'' を導入したのは {{Citation |first=Jean-Robert |last={{ill2|ジャン゠ロベール・アルガン|en|Jean-Robert Argand|label=Argand}} |title=Réflexion sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivie de la démonstration d'un théorème d'analyse|journal= [[Annales de Gergonne]] |volume=5 | pages=197-209 |year=1814}} で、幾何学的構成による虚数の表現を説明するものとして用いられた{{sfn|Argand|1874|p=[https://archive.org/stream/essaisurunemani00argauoft#page/122/mode/2up 122]}}。
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複素数 {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}（{{math|''a'', ''b''}} は実数）の絶対値 {{math|{{abs|''z''}}}} は、幾何学的な定義と代数的な定義がある。幾何学的には、絶対値 {{math|{{abs|''z''}}}} は、[[複素数平面]]における、原点 {{math|O(0)}} との[[ユークリッド距離]]として定義できる。[[ピタゴラスの定理]]より、具体的には、次の式で定義できる：
:<math>|z|:=\sqrt{a^2+b^2}</math>
代数的には、複素数の絶対値は、実数の絶対値を拡張した[[ノルム代数|乗法的ノルム]]として定義できる。つまり、複素関数
* <math>|x| = \max \{ x, -x \}</math>（{{mvar|x}} は実数）
* 非負性：<math>|z|\ge 0</math>
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** <math>|z_1 + z_2 + \cdots + z_n| \leq |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_n|</math>
** 逆向き三角不等式：<math>|z_1 \pm z_2| \ge \bigl| |z_1| - |z_2| \bigr|</math>
** <math>| \operatorname{Re} z| \le |z|</math>, <math>| \operatorname{Im} z| \le |z|</math>▼
*** <math>\lim_{n\to \infty} z_n = \alpha \iff \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re} z_n = \operatorname{Re} \alpha , \ \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im} z_n = \alpha</math>
*** 複素関数 <math>|z|</math> は[[連続写像|連続]]
▲** <math>| \operatorname{Re} z| \le |z|</math>, <math>| \operatorname{Im} z| \le |z|</math>
上記の3性質は、絶対値を特徴付けるため、重要である。
* <math>|z|=|-z|=|\bar{z}|=|-\bar{z}|</math> ただし、上線 {{math|{{overline|•}}}} は[[複素共役]]を表す。
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