「ヘリウム原子」の版間の差分
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en:Helium atom 06:42, 15 September 2020 を部分的に和訳 |
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:<math> \psi_0(r_1\, r_2) = \frac{Z_e^3}{\pi} e^{-Z_e(r_1 + r_2)} </math>
によって与えらえる。もしZ<sub>e</sub>が1.70だったならば、基底状態エネルギーについての上の式はヘリウムの基底状態エネルギーの実験値E<sub>0</sub> = −2.903 a.u. となる。この場合Z = 2であるため、遮蔽定数はS = 0.30である。ヘリウムの基底状態の平均遮蔽近似について、それぞれの電子の他方の電子に対する遮蔽効果は電子電荷のおよそ<math> \frac{1}{3} </math>と等しい<ref>{{cite book|author=B.H. Bransden and C.J. Joachain|title=Physics of Atoms and Molecules|edition=2nd edition |publisher= Benjamin Cummings|year=2003|isbn=978-0582356924}}</ref>。
==== 変分法 ====
{{see |変分法 (解析力学)#ヘリウム原子の基底状態}}
上記の例では、既に分かっている実験値に合うように遮蔽定数を求めた。[[摂動法]]と[[変分法]]を用いて非経験的にエネルギーを求める。
波動関数中の核電荷Zを変数と見なすと試行波動関数は
: <math> \psi^{(0)}_0 = \frac{\zeta^3}{\pi} e^{-\zeta(r_1)}\cdot e^{-\zeta(r_2)}</math>
である。非摂動ハミルトニアン<math>H_0</math>に対する期待値（電子間反発を無視したエネルギー）は
: <math>\frac{\int_0^{\infty} \psi^{(0)*}_0 H_0 \psi^{(0)}_0 d\tau}{\int_0^{\infty} \psi^{(0)*}_0 \psi^{(0)}_0 d\tau} = \zeta^2 - 2Z\zeta</math>
摂動ハミルトニアン<math> H' = \frac{1}{r_{12}} </math>に対する期待値（電子間反発）は
: <math>\frac{\int_0^{\infty} \psi^{(0)*}_0 H' \psi^{(0)}_0 d\tau}{\int_0^{\infty} \psi^{(0)*}_0 \psi^{(0)}_0 d\tau} = \frac{5}{8}\zeta</math>
であり、全エネルギーの期待値は
: <math>E(\zeta) = \zeta^2 - 2Z\zeta + \frac{5}{8}\zeta</math>
となる。これを、<math>\zeta</math>について微分すると、<math>\zeta</math>の最良値<math>\zeta_0 = \frac{27}{16} = 1.6875</math>が得られる。ヘリウムではZ = 2であるため、全エネルギー期待値は
: <math>E = -2.84765</math>（a.u.）
である。
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==トーマス＝フェルミ模型==
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By using more complicated/accurate wave functions, the ground state energy of helium has been calculated closer and closer to the experimental value −78.95 eV.<ref>David I. Griffiths ''Introduction to Quantum Mechanics'' Second edition year 2005 Pearson Education, Inc</ref> The variational approach has been refined to very high accuracy for a comprehensive regime of quantum states by G.W.F. Drake and co-workers<ref>{{cite journal | last1=Drake | first1=G.W.F. | last2=Van | first2=Zong-Chao | title=Variational eigenvalues for the S states of helium | journal=Chemical Physics Letters | publisher=Elsevier BV | volume=229 | issue=4–5 | year=1994 | issn=0009-2614 | doi=10.1016/0009-2614(94)01085-4 | pages=486–490}}</ref><ref>{{cite journal | last1=Yan | first1=Zong-Chao | last2=Drake | first2=G. W. F. | title=High Precision Calculation of Fine Structure Splittings in Helium and He-Like Ions | journal=Physical Review Letters | publisher=American Physical Society (APS) | volume=74 | issue=24 | date=1995-06-12 | issn=0031-9007 | doi=10.1103/physrevlett.74.4791 | pages=4791–4794| pmid=10058600 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Drake | first=G. W. F. | title=High Precision Theory of Atomic Helium | journal=Physica Scripta | publisher=IOP Publishing | volume=T83 | issue=1 | year=1999 | issn=0031-8949 | doi=10.1238/physica.topical.083a00083 | pages=83–92| doi-access=free }}</ref> as well as J.D. Morgan III, Jonathan Baker and Robert Hill<ref>J.D. Baker, R.N. Hill, and J.D. Morgan III (1989), "High Precision Calculation of Helium Atom Energy Levels", in AIP ConferenceProceedings '''189''', Relativistic, Quantum Electrodynamic, and Weak Interaction Effects in Atoms (AIP, New York),123</ref><ref>{{cite journal | last1=Baker | first1=Jonathan D. | last2=Freund | first2=David E. | last3=Hill | first3=Robert Nyden | last4=Morgan | first4=John D. | title=Radius of convergence and analytic behavior of the 1/Z expansion | journal=Physical Review A | publisher=American Physical Society (APS) | volume=41 | issue=3 | date=1990-02-01 | issn=1050-2947 | doi=10.1103/physreva.41.1247 | pages=1247–1273| pmid=9903218 }}</ref><ref>{{cite journal |first1=T. C. |last1=Scott |first2=A. |last2=Lüchow |first3=D. |last3=Bressanini |first4=J. D. III |last4=Morgan |year=2007 |title=The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions |journal=[[Physical Review|Phys. Rev. A]] |volume=75 |issue=6 |pages=060101 |doi=10.1103/PhysRevA.75.060101 |bibcode=2007PhRvA..75f0101S |hdl=11383/1679348 |url=https://irinsubria.uninsubria.it/bitstream/11383/1679348/1/2007-scott-pra2007.pdf }}</ref> using Hylleraas or Frankowski-[[Chaim L. Pekeris|Pekeris]] basis functions. One needs to include [[Special Relativity|relativistic]] and [[quantum electrodynamics|quantum electrodynamic]] corrections to get full agreement with experiment to spectroscopic accuracy.<ref>{{cite journal | last1=Drake | first1=G. W. F. | last2=Yan | first2=Zong-Chao | title=Energies and relativistic corrections for the Rydberg states of helium: Variational results and asymptotic analysis | journal=Physical Review A | publisher=American Physical Society (APS) | volume=46 | issue=5 | date=1992-09-01 | issn=1050-2947 | doi=10.1103/physreva.46.2378 | pages=2378–2409| pmid=9908396 }}</ref><ref>G.W.F. Drake (2006). "Springer Handbook of Atomic, molecular, and Optical Physics", Edited by G.W.F. Drake (Springer, New York), 199-219. [https://www.amazon.com/Springer-Handbook-Molecular-Optical-Physics/dp/038720802X]</ref>
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== イオン化エネルギーの実験値 ==
ヘリウムの第1[[イオン化エネルギー]]の実験値は−24.587387936(25) eVである<ref name=asdie>{{cite web|publisher=[[NIST]]|url=http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/ionEnergy.html|title=NIST Atomic Spectra Database Ionization Energies Data|authors=Kramida, A., Ralchenko, Yu., Reader, J., and NIST ASD Team|location=Gaithersburg, MD}}</ref><ref>{{cite journal|date=2010|title=Extreme Ultraviolet Frequency Comb Metrology|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=105|issue=6|page=063001|bibcode=2010PhRvL.105f3001K|doi=10.1103/PhysRevLett.105.063001|pmid=20867977|authors=D. Z. Kandula, C. Gohle, T. J. Pinkert, W. Ubachs, and K. S. E. Eikema|arxiv=1004.5110|s2cid=2499460}}</ref>。ヘリウムの第2イオン化エネルギーの理論値は−54.41776311(2) eVである<ref name=asdie/>。ヘリウム原子の全基底状態エネルギーは−79.005151042(40) eV<ref name=asdie/>、[[原子単位系|ハートリー原子単位系]]で−2.90338583(13) Hartree、[[原子単位系#リュードベリ原子単位系|リュードベリ原子単位系]]で−5.80677166 (26) Ryである。
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