「捩れ部分群」の版間の差分

[[アーベル群]]の理論において、アーベル群 ''A'' の'''捩れ部分群'''（ねじれぶぶんぐん、{{lang-en-short|torsion subgroup}}） ''A_T'' とは ''A'' の[[部分群]]であって有限の[[位数 (群論)|位数]]をもつすべての元からなるもの[[部分群]]である。アーベル群 ''A'' が'''[[捩れ群|捩れ]]''' (torsion) 群（あるいは'''[[周期的群|'''周期的]]''']] (periodic) 群であるとは、''A'' そのすべての元の位数が有限であることで、'''torsion-free''' であるとは、[[単位元]]を除く ''A'' のすべての元の位数が無限であることである{{sfn|Fuchs|1970|p={{google books quote|id=Vb38GspKia8C|page=4|4}}}}。

''A_T'' 実際に有限位数の元が加法で閉じていることの証明は加法の可換性によっている（例の節を見よ）。

アーベル群 ''A'' がアーベル群であれば、の捩れ部分群 ''T''(''A'') は ''A'' の [[:en:characteristic subgroup<!-- [[:ja:特性部分群]] とリンク -->|fully characteristic subgroup]] であり、剰余群 ''F''(''A'') = ''A''/''T''(''A'') は torsion-free である。すべてこれらの対応は関手的である：アーベル群をその捩れ部分群に送りすべての準同型をその捩れ部分群への制限に送る、[[アーベル群の圏]]から捩れ群の圏への[[共変関手]] ''T'' が存在する{{sfn|Fuchs|1970|p={{google books quote|id=Vb38GspKia8C|page=25|25}}}}。すべてのアーベル群をその捩れ部分群による商に送りすべての準同型をその明らか標準的な誘導写像（well-defined であることは容易に確かめられる）に送る、アーベル群の圏から torsion-free な群の圏への共変関手 ''F'' も存在する{{sfn|Fuchs|1970|p={{google books quote|id=Vb38GspKia8C|page=26|26}}}}。

アーベル群 ''A'' が有限生成アーベル群であれば、その捩れ部分群 ''T'' と torsion-free な部分[[群の直和]]として書くことができる（しかしこれはすべての非有限生成アーベル群に対して正しくない）。''A'' の捩れ部分群 ''S'' と torsion-free な部分群の直和としての任意の分解において、''S'' は ''T'' と等しくなければならない（しかし torsion-free 部分群は一意的には定まらない）。これは[[有限生成アーベル群]]の分類において重要なステップである。

:<math>A_{T_p}=\{\, g\in A \;|\; \exists n\in \mathbb{N},\;, p^n g = 0\,\}.\;</math>

:<math>A_T \cong \bigoplus_{p\in P}bigoplus_p A_{T_p}.\;</math>

* 非アーベル群の捩れ部分集合は一般には部分群ではない。例えば {{仮リンク|無限二面体群|en|infinite dihedral group}} は [[:en:presentation of a group<!-- [[:ja:群の表示]] とリンク -->|presentation表示]]:

: <&lang; ''x'', ''y'' | ''x''² = ''y''² = 1 >&rang;

{{Reflist|2}}

* Epstein, D. B. A., Cannon, James W. (1992). ''Word processing in groups''. A K Peters, 1992. ISBN 0-86720-244-0