「ヤング束」の版間の差分
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{{要改訳|date=2018年4月}}
{{正確性|date=2018年4月}}
[[ファイル:Young's_lattice.svg|サムネイル|ヤング束の[[ハッセ図]]]]▼
[[数学]]において、'''ヤング束'''は全ての[[自然数の分割]]からなる[[束 (束論)|束]]である。「On quantitative substitutional analysis」などで[[対称群]]の[[表現論]]を発展させた、{{仮リンク|アルフレッド・ヤング|en|Alfred_Young}}にちなんで名付けられた。ヤングの理論において、現在では[[ヤング図形]]と呼ばれる対象やその半順序は、決定的な重要な役割を果たした。{{Harvtxt|Stanley|1988}}によって、ヤング束は差分半順序集合の最も単純な例とされるなど、ヤング束は代数的[[組合せ論]]においてよく現れる。そして、[[アフィンリー代数]]の結晶基底とも密接に関連している。
== 定義 ==
▲[[ファイル:Young's_lattice.svg|サムネイル|200px|ヤング束 {{mvar|Y}} の[[ハッセ図]]]]
非負整数からなる非増加列 {{math|''λ'' {{=}} (''λ''{{sub|1}}, ''λ''{{sub|2}}, …)}} が非負整数 {{mvar|n}} の[[自然数の分割|分割]] {{lang|en|partition}} であるとは、成分の総和 {{math|{{!}}''λ''{{!}} {{=}} ''λ''{{sub|1}} + ''λ''{{sub|2}} + …}} が {{mvar|n}} となることをいう。これを記号 {{math|''λ'' ⊢ ''n''}} により表す。分割 {{math|''λ'' {{=}} (''λ''{{sub|1}}, ''λ''{{sub|2}}, …)}} と {{math|''μ'' {{=}} (''μ''{{sub|1}}, ''μ''{{sub|2}}, …)}} の間に[[半順序関係]] {{math|''λ'' ≤ ''μ''}} を
:<math> \lambda_i \le \mu_i \qquad (i \ge 1) </math>
により定める{{sfn|Stanley|2013|p={{google books quote|id=_Tc_AAAAQBAJ|page=57|57}}}}。（これは対応する[[ヤング図形]]の含有関係に他ならない{{sfn|Sagan|2000|p=192|loc=Definition 5.1.2}}。右図参照。）この半順序関係により分割全体
:<math> Y = \{\, \lambda \vdash n \mid n \ge 0 \,\} </math>
は[[束 (束論)|束]]になり、これをヤング束 {{lang|en|Young's lattice}} という。
== 意義 ==
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これらの分割の下にあるヤング束の部分集合は左右対称性の他に5倍回転対称性を持つ。つまり、二面体群 ''D''<sub>5</sub> はヤング束のこの部分集合に作用する。
==
{{reflist|2}}
* {{仮リンク|ヤング・フィボナッチ束|en|Young–Fibonacci_lattice}}▼
* {{仮リンク|ブラッテリ図|en|Bratteli_diagram}}▼
== 参考文献 ==
* {{Cite journal | last1 = Misra | first1 = Kailash C. | last2 = Miwa | first2 = Tetsuji| year = 1990 | title = Crystal base for the basic representation of <math>U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(n))</math>| journal = [[Communications in Mathematical Physics]]| volume = 134 | issue = 1 | pages = 79–88 | bibcode = 1990CMaPh.134...79M| doi = 10.1007/BF02102090 }}
* {{Cite book|last=Sagan|first=Bruce|title=The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions|edition=Second|year=
* {{Cite journal|last=Stanley|first=Richard P.|year=1988|title=Differential posets|journal=[[Journal of the American Mathematical Society]]|volume=1|issue=4|pages=919–961|ref=harv|doi=10.2307/1990995}}
* {{Cite book|last=Stanley|first=Richard P.|year=2013|title=Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More|publisher=Springer|url={{google books|_Tc_AAAAQBAJ|plainurl=yes}}|isbn=978-1-4614-6997-1|ref=harv}}
* {{Cite journal|last=Suter|first=Ruedi|year=2002|title=Young's lattice and dihedral symmetries|journal=[[European Journal of Combinatorics]]|volume=23|issue=2|pages=233–238|ref=harv|doi=10.1006/eujc.2001.0541}}
== 関連項目 ==
▲* {{仮リンク|ヤング・フィボナッチ束|en|Young–Fibonacci_lattice}}
▲* {{仮リンク|ブラッテリ図|en|Bratteli_diagram}}
{{DEFAULTSORT:やんくそく}}
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