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「ピカール＝リンデレーフの定理」の版間の差分

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要検証・改訳（というか、元の英語版がちょっと）
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{{Differential equations}}
[[数学]]、特にの[[微分方程式]]論において、'''ピカール＝リンデレーフの定理'''(Picard–Lindelöf theorem)、'''ピカールの存在定理'''(Picard's existence theorem)、'''コーシー＝リプシッツの定理'''(Cauchy–Lipschitz theorem)、または'''解の存在と一意性の定理'''（かいのそんざいといちいせいのていり、existence and uniqueness theorem）とは、[[初期値問題]]の解が一意に存在するための[[十分条件]]を与える[[定理]]である。
 
定理の名前は、[[エミール・ピカール]]、{{仮リンク|エルンスト・レオナルド・リンデレーフ|en|Ernst Leonard Lindelöf}}、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]、[[ルドルフ・リプシッツ]]に因む。
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:<math>y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_0)=y_0</math>
 
関数 {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} が {{mvar|y}} に一様に[[リプシッツ連続]]（リプシッツ定数が {{mvar|t}} かに依ら独立してないることを意味する）であり、かつ、 {{mvar|t}} に[[連続写像|連続]]しているとすると、ある値 {{math|''ε'' > 0}} に対して、区間 <math>[t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon]</math> の上で初期値問題の唯一の解 {{math|''y''(''t'')}} が存在する<ref>{{harvtxt|Coddington|Levinson|1955}}, Theorem I.3.1</ref>{{要検証|date=2021-06-27|title=恐らく（不正確な引用により）条件が正しく述べられていない。}}。
 
== 簡単な証明の概略 ==
この定理の[[証明 (数学)|証明]]は、微分方程式を変換し、[[不動点定理]]の理論を応用することで行われる。両辺を積分すれば、その微分方程式を満たす関数は、次の[[積分方程式をも満たすことになる。]]
 
:<math> y(t) - y(t_0) = \int_{t_0}^t f(s,y(s)) \, ds. </math>
 
をも満たすことになる。解の存在と一意性の簡単な証明は、連続的な[[ピカールの逐次近似法]]によって得られる。この方法はピカール反復(Picard iteration)とも呼ばれる。
 
ここで関数列 {{math|''φ<sub>k</sub>''}} を
ここで
 
:<math>\varphi_0(t)=y_0</math>▼
 
かつ
 
▲:<math>\varphi_0(t)=y_0,</math>
:<math>\varphi_{k+1}(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s,\varphi_k(s))\,ds</math>
 
と定義する。[[バナッハの不動点定理]]を用いることで、ピカール反復の関数列 {{math|''φ<sub>k</sub>''}} が[[数列の極限|一様収束]]し、その[[極限]]関数が初期値問題の解であることを示すことができる。[[グロンウォールの不等式|グロンウォールの補題]]を {{math|{{!}}''φ''(''t'') − ''ψ''(''t''){{!}}}} （ {{mvar|φ}} と {{mvar|ψ}} は2つの解）に適用すると、 {{math|''φ''(''t'') {{=}} ''ψ''(''t'')}} となり、大域的な一意性が証明される（局所的な一意性は、バナッハ不動点の一意性の結果である）。
 
== ピカール反復の例 ==
解として <math>y(t)=\tan(t)</math> を持つ初期値問題
初期条件 <math>y(t_0)=y_0=0,t_0=0</math> の方程式 <math>y'(t)=1+y(t)^2</math> の解を <math>y(t)=\tan(t)</math> とする。 <math>\varphi_0(t)=0</math> から始めて、
:<math>y'(t)=1+y(t)^2, \qquad y(0)=0</math>
に関して実際にピカール反復を計算してみる。 <math> \varphi_n(t) \to y(t)</math> となるように<math>\varphi_0(t)=0</math> から始めて、
 
:<math>\varphi_{k+1}(t)=\int_0^t (1+(\varphi_k(s))^2)\,ds</math>
 
となるように反復していく。 <math> \varphi_n(t) \to y(t)</math> とすると、以下次のようになる。
 
:<math>\varphi_1(t)=\int_0^t (1+0^2)\,ds = t</math>
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:<math>\varphi_3(t)=\int_0^t \left(1+\left(s + \frac{s^3}{3}\right)^2\right)\,ds = t + \frac{t^3}{3} + \frac{2t^5}{15} + \frac{t^7}{63}</math>
 
明らかに、この関数れは既知の解 <math>y(t)=\tan(t)</math> の[[テイラー級数展開]]を計算している。 <math>\tan</math> は <math>\pm\tfrac{\pi}{2}</math> に極を持つので、これは '''R''' の全て体ではなく、 <math>|t|<\tfrac{\pi}{ 2}</math> の場合に範囲でのみ局所解に収束する。
 
== 非一意性の例 ==
170 ⟶ 169行目:
 
== 参考文献 ==
* {{Cite book | last1=Coddington | first1=Earl A. |authorlink=Earl A. Coddington | last2=Levinson | first2=Norman |authorlink2=Norman Levinson | title=Theory of Ordinary Differential Equations | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | year=1955 | ref=harv}}.
* {{cite journal |first=E. |last=Lindelöf |title=Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre |journal=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences |volume=116 |year=1894 |pages=454–457 |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table }} (In that article Lindelöf discusses a generalization of an earlier approach by Picard.)
* {{cite book| last = Teschl| given = Gerald|authorlink=Gerald Teschl| title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| publisher=[[American Mathematical Society]]| place = [[Providence, Rhode Island]]|series=[[Graduate Studies in Mathematics]] |issn=1065-7339 |eissn=2376-9203 | year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|section=2.2. The basic existence and uniqueness result|section-url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf#page=47 |p=38 |zbl=1263.34002 |lang=en}}
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