「アトラクター」の版間の差分

[[力学系]]における'''アトラクター'''（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、[[時間発展]]する[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付ける性質を持った[[相空間]]上の領域である。アトラクター上の軌道の様相構造・性質から、'''点アトラクター'''、'''周期アトラクター'''、'''準周期アトラクター'''、'''ストレンジアトラクター'''の4種類に分類される。アトラクターへ引き込まれる初期値の集まりはベイスンなどと呼ばれ、ベイスンからアトラクターへ落ちこむまでをは過渡状態などと呼ぶばれる。

力学系の考え方では、対象とする状態を変数の組として表し、それを空間上の1点とみなす{{Sfn|金子|2009|pp=65–67}}。時間発展に従って動く空間上の点の軌跡は[[軌道 (力学系)|軌道]]と呼ばれ、状態の時間変化を表している{{Sfn|井上・秦|1999|p=65}}。状態の集まりである空間は[[相空間]]や[[状態空間]]と呼ばれる{{Sfn|徳永|1990|p=66}}。散逸系とは、数学的には、相空間の上に[[体積要素（2次元であれば[[面積]]、3次元であれば普通を取ったときにその意味で要素の[[体積]]）が時間発展にともなって減少していく系を指す（ここでの体積とは3次元以上2次元以下を含む一般化された意味での体積、以下同じ）{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=20}}。散逸系では、相空間上の軌道がある一定の領域（状態の集まり）へ引き付けられる現象が存在する{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。このような領域をアトラクターと呼ぶ{{Sfn|ベルゲジェ・ポモウ・ビダル|1992|p=102}}。一方の保存系では、アトラクターは存在しない{{Sfn|竹山|1992|p=39}}。

==定義と一般的性質==

[[File:Diagram of attractor and basin.svg|thumb|290px300px|相空間（'''R'''^''n''）上のアトラクター ('''''A''''') とベイスン ('''''B''''') の概念図（実際の平面上のアトラクターは面積を持たないことに注意）]]

アトラクター（{{Lang-en|attractor|links=no}}）とは、「引き付ける」を意味する英語動詞 [[wikt:attract|attract]] から出来た言葉で{{Sfn|合原|1993|p=70}}、大雑把にいえば、アトラクターとは、その周りの[[軌道 (力学系)|軌道]]を引き付けるような性質をもった領域である{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=316}}。さらに、軌道がそのような領域まで引き付けられた後は、軌道はその領域内に留まり続ける{{SfnSfnm|井上・秦|1999|p1p=21|合原・黒崎・高橋|1999|2p=228}}。

アトラクターの厳密な定義については議論が残っており、広く共有された数学的な定義は存在していない{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=317|郡・森田|2011|3p=74}}。ここでは、まずは {{Harv|ウィギンス|2013}} に沿った定義を以下に述べる。[[力学系]]の[[相空間]]を {{Math|'''R'''^''n''}} とし、相空間上の点（状態変数）を {{Mvar|'''x'''}} とする。連続力学系を定める[[ベクトル場]]の[[ベクトル場#流れ|流れ]] を {{Math|''φ''(''t'', '''''x'''''): '''R''' × '''R'''^''n'' → '''R'''^''n''}} で表すとする。離散力学系を定める[[写像]] の {{Mvar|nk}} 回[[反復合成写像|繰り返し適用]]を {{Math|''f''^''nk''('''''x'''''): '''Z''' × '''R'''^''n'' → '''R'''^''n''}} で表すとする。[[部分集合]] {{Math|''A'' ⊂ '''R'''^''n''}} が以下を満たすとき、{{Mvar|A}} を'''吸引集合'''と呼ぶ{{Sfn|ウィギンス|2013|p=45}}。

**全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} について、{{Math|''t'' → ∞}} でのとき {{Math|''φ''(''t'', '''''x''''') → ''A''}} となである。

**{{Mvar|A}} は閉不変集合、すなわち全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''A''}} と {{Math|''nk'' ∈ '''Z'''}} について {{Math|''f''^''nk''('''''x''''') ∈ ''A''}} である。

**{{Mvar|A}} にある近傍 {{Mvar|B}} が存在し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} と {{Math|''nk'' ∈ '''Z'''⁺}} について {{Math|''f''^''nk''('''''x''''') ∈ ''B''}} である。

**全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''B''}} について、{{Math|''nk'' → ∞}} でのとき {{Math|''f''^''nk''('''''x''''') → ''A''}} となである。

**{{Mvar|A}} の任意の部分開集合 {{Mvar|U}}, {{Mvar|V}} に対し、全ての {{Math|'''''x''''' ∈ ''U''}} が {{Math|''f''^''nk''('''''x''''') ∈ ''V''}} を満たす {{Math|''nk'' ∈ '''Z'''}} が存在する。

力学系の位相的推移性あるいは推移性とは、直感的に言えば軌道がその領域内をくまなく動き回ることを意味する{{Sfn|グーリック|1995|p=87}}。{{Harv|松葉|2011}}、{{Harv|Hirsch, Smale & Devaney|2007}}、{{Harv|久保・矢野|2018}} も 位相的推移性をアトラクターの条件として挙げている{{Sfnm|松葉|2011|1pp=116,120|Hirsch, Smale & Devaney|2007|2p=316|久保・矢野|2018|3p=197}}。{{Harv|小室|2005}} でも[[稠密集合|稠密]]な軌道の存在という形でアトラクターを定義付けている{{Sfn|小室|2005|p=112}}。{{Harv|Strogatz|2015}} や {{Harv|Falconer|2006}} では、位相的推移性の代わりに {{Mvar|A}} が[[不変集合|極小集合]]であること、すなわち {{Mvar|A}} の全ての真部分集合が吸引集合の条件を満たさないことをアトラクターの定義としている{{Sfnm|Strogatz|2015|1p=353|Falconer|2006|2p2pp=234, 253}}。

[[File:位相推移的でないアトラクタ.svg|thumb|350px|{{mathmath2|''ẋ'' {{=}} ''x'' − ''x''³, ''ẏ'' {{=}} −''y''}} による2次元ベクトル場の例。赤い線分の範囲 {{Math|(''x'' {{=}} [−1, 1], ''y'' {{=}} 0)}} は吸引集合だがアトラクター（位相的推移的）ではない。]]

*:<math> A = \bigcap_{nk \ge 0} f^nk (R) </math>

[[File:エノン写像の点アトラクター.png|thumb|400px|{{Math|''b'' {{=}} 0.3}}, {{Math|''a'' {{=}} 0.2}} の[[エノン写像]]における点アトラクターの例。左図は {{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} の時系列変化を、右図は {{Mvar|x}} と {{Mvar|y}} が {{Mvar|xy-}}平面で最終的に引き込まれる点（すなわち点アトラクター）を示す。]]

相空間上の1点へ収束するアトラクターを、'''点アトラクター'''（{{Lang-en|point attractor|links=no}}）という{{Sfnm|伊東|1993|1pp=13&ndash;15|合原|1993|2p=72|小室|2005|3p=45}}<ref name="井庭・福原">{{Cite book ja-jp |author = 井庭 崇・福原 義久 |year = 1998 |title = 複雑系入門 ―知のフロンティアへの冒険 |url = https://www.nttpub.co.jp/search/books/detail/100000834.html |publisher = NTT出版 |edition = 初版 |isbn = 4-87188-560-7 }} p. 69</ref>。点これは、アトラクターはの中でもっとも簡単純なアトラクターものといえる{{Sfnm|上田|2008|1p=27|金子|2009|2p=67}}。点アトラクターという呼び方の他に、'''静止アトラクター'''{{Sfn|上田|2008|p=45}}<ref name="井庭・福原"/>、'''ポイントアトラクター'''{{Sfn|Thompson & Stewart|1988|p=iii}}<ref name="郷原"/>、'''固定点アトラクター'''{{Sfn|金子|2009|p=68}}、'''平衡点アトラクター'''{{Sfn|上田|2008|p=45}}<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 徳永 隆治 |year = 1992 |title = 応用で学ぶカオスとフラクタルの基礎 |journal = 電気学会論文誌Ｄ（産業応用部門誌） |volume = 112 |issue = 8 |publisher = 電気学会 |doi = 10.1541/ieejias.112.686 |page = 687 }}</ref>、'''不動点アトラクター'''{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|p=228}}といった言い方もある。

微分方程式に[[独立変数]] {{Mvar|t}} を陽に含まない系を[[自励系|自励的]]という{{Sfn|小室|2005|p=17}}。{{Math|'''R'''}} 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=32&ndash;33|伊東|1993|2p=80}}。一方の離散力学系では軌道が連続的であるという制限がないので、1次元写像の段階から点アトラクター以外の種類のアトラクターが許容される{{Sfnm|Strogatz|2015|1pp=380&ndash;381|Jackson|1994|2p=124}}。

[[File:Limit cycle of Brusselator.svg|thumb|x270pxx260px|[[ブラッセレーター|ブラッセレーター方程式]]で現れる周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、1つの[[閉曲線]]に巻きつく。]]

連続力学系では、周期軌道とは相空間上の1本の[[単純閉曲線]]であり、解はその線を沿って動き続ける{{Sfn|アリグッド・サウアー・ヨーク|2012b|p=149}}。つまり、ある時間経過ごとに元の状態に戻るような周期的な振る舞いを示す{{Sfn|松葉|2011|p=32}}。近傍の軌道が引き付けられる漸近安定な閉曲線と近傍の軌道が離れていく漸近不安定な閉曲線を、合わせて[[リミットサイクル]]と呼ぶ{{Sfn|郡・森田|2011|p=17}}。周期アトラクターとは漸近安定な[[リミットサイクル]]のことである{{Sfn|上田|2008|p=45}}。ただし、周期アトラクターを指して単に'''リミットサイクル'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2p=14&ndash;15|小室|2005|3p=45}}<ref name="井庭・福原"/>。

離散力学系も、漸近安定な周期軌道（[[周期点]]の集合）が周期アトラクターに対応する<ref name="青木">{{Cite book ja-jp |author = 青木 統夫 |title = 力学系・カオス ―非線形現象の幾何学的構成 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033405 |year = 1996 |edition = 初版 |publisher = 共立出版 |isbn = 4-320-03340-X }} p. 2</ref>。離散力学系の周期軌道とは、写像を[[反復合成写像|繰り返し合成]]したときにある繰り返し数で元の状態に戻る点列に相当する{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=338}}。上記のエノン写像の例では、パラーメータが {{Math|''b'' {{=}} 0.3}}, {{Math|''a'' {{=}} 1}} のときに周期 4 の漸近安定な周期軌道が存在する{{Sfn|小室|2005|pp=125&ndash;126}}。

[[File:Quasi-periodic attractor of Langford equation.png|thumb|330px|ラングフォード方程式で現れる準周期アトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、1つのドーナツ形の2次元[[トーラス]]に巻引きつく込まれる。]]

連続力学系では、準周期軌道とは相空間上の[[トーラス]]表面に巻きつく非閉曲線である{{Sfn|竹山|1992|p=44}}。これは[[振動数]]比が[[無理数]]の関係にある振動同士が重ね合わさって起きる振る舞いで、振動同士の重ね合わせとして表現できるが、周期軌道とは異なって同じ状態に戻ることはないのが特徴である<ref>{{Cite book ja-jp |author = J.ブリッグス・F.D.ピート |title = 鏡の伝説 ―カオス・フラクタル理論が自然を見る目を変えた |translator = 高安 秀樹・高安 美佐子 |publisher = ダイヤモンド社 |edition = 初版 |year = 1991 |isbn = 4-478-83005-3 }} pp. 42&ndash;43</ref>。準周期軌道はトーラス上を[[稠密集合|稠密]]に覆いつくし、ある点を通る準周期軌道はいくらでもその点の近くに戻って来る{{Sfn|Hirsch, Smale & Devaney|2007|p=122}}。準周期アトラクターを指して単に'''トーラス'''と呼ぶこともある{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=15|伊東|1993|2pp=14&ndash;15}}。

自励的な連続力学系では、準周期アトラクターは {{Math|'''R'''³}} 以上の相空間に存在する{{Sfnm|徳永|1990|1p=70|伊東|1993|2p=15}}。[[ポアンカレ・ベンディクソンの定理]]によって、{{Math|'''R'''²}} の相空間には点アトラクターと周期アトラクターしか存在しないことが知られている{{Sfn|グーリック|1995|pp=240&ndash;241}}。連続力学系で準周期アトラクターが現れる例として、ウィリアム・ラングフォードがトーラスからカオスへの分岐を研究するために用いた次のラングフォード方程式が挙げられる{{Sfnm|合原（編）|2000|1p=50|徳永|1990|2pp=70&ndash;71}}。

パラメータが {{MathMath2|(''&alpha;'', ''&beta;'', ''&lambda;'', ''&omega;'', ''&rho;'', ''&epsilon;'') {{=}} (1, 0.7, 0.6, 3.5, 0.25, 0)}} のとき、近傍の軌道がドーナツの形をした2次元トーラスに収束し、その上を閉じることなく回り続けることが観察できる{{Sfn|徳永|1990|pp=70&ndash;71}}。

離散力学系では、準周期軌道とは、[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を取ると[[円 (数学)|円]]に[[同相]]で、なおかつその閉包上で写像が[[単調写像|単調]]であるような軌道として定義できる{{Sfn|松本・徳永・宮野・徳田|2002|p=2}}。離散力学系の準周期アトラクターの例として、エノン写像によく似た次の写像がある<ref name="Elhadj">{{Cite journal |author = Zeraoulia Elhadj and J. C. Sprott |year = 2008 |title = A Minimal 2-d Quadratic Map With Quasi-periodic Route to Chaos |journal = International Journal of Bifurcation and Chaos |volume = 18 |issue = 5 |publisher = World Scientific Publishing Company |doi = 10.1142/S021812740802118X |issn = 0218-1274 |pages = 1567, 1570 }}</ref>。

[[File:Lorenz attractor and its transients.png|thumb|330px340px|[[ローレンツ方程式]]で現れるストレンジアトラクター。赤、青、緑の異なる初期値から出発した軌道が、「チョウの1対の羽」{{Sfn|Strogatz|2015|p=348}}のような形をしたアトラクターに引き付けられる。]]

複雑な構造を持ち、軌道がカオスとなるタイプのアトラクターを、'''ストレンジアトラクター'''（{{Lang-en|strange attractor|links=no}}）という{{Sfn|井上・秦|1999|p=7}}。この命名は[[ダヴィッド・ルエール|デービット・リュエル]]と{{仮リンク|フロリス・ターケンス|en|Floris Takens}}による{{Sfn|グリック|1991|p=231}}。古くから知られていたアトラクターは、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクターの3つだけであった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。ストレンジアトラクターというクラスのアトラクターは、コンピューターが発達して数値計算が実用になって以降の1960年代になって見つかった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。他には、'''カオスアトラクター'''{{Sfnm|Thompson & Stewart|1988|1p=27|小室|2005|2p=45}}、'''カオティックアトラクター'''{{Sfn|徳永|1990|p=72}}、'''カオス的アトラクター'''{{Sfnm|徳永|1990|1p=72|Strogatz|2015|2p=355}}、'''奇妙なアトラクター'''<ref>{{Cite book ja-jp |author = 下條 隆嗣 |title = カオス力学入門 ―古典力学からカオス力学へ |url = https://www.kindaikagaku.co.jp/physics/kd2005.htm |series = シミュレーション物理学6 |publisher = 近代科学社 |year = 1992 |edition = 初版 |isbn = 4-7649-2005-0}} pp. 96, 98</ref><ref>{{Cite book ja-jp |author = 船越 満明 |title = カオス | url = http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11613-7/ |series = シリーズ 非線形科学入門3 |publisher = 朝倉書店 |year = 2008 |edition = 初版 |isbn = 978-4-254-11613-7 }} p. 148</ref>、'''フラクタルアトラクター'''{{Sfnm|Falconer|2006|1p=235|Strogatz|2015|2p=355}}といった呼び方もある。

古くから知られていたアトラクターは、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクターの3つだけであった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。ストレンジアトラクターというクラスのアトラクターは、コンピューターが発達して数値計算が実用になって以降の1960年代になって見つかった{{Sfn|小室|2005|p=45}}。「カオス」と同様、ストレンジアトラクターの広く共有された定義も現在のところ存在していない{{Sfnm|上田|2008|1p=87|Jackson|1994|2p=161}}。ここではアトラクターの定義に合わせ、{{Harv|ウィギンス|2013}} に沿ったストレンジアトラクターの定義を挙げる。集合 {{Mvar|A}} が位相的に推移的なアトラクターであり、かつ[[コンパクト集合|コンパクト]]であるとする。さらに {{Math|(''A'', ''&phi;'')}} あるいは {{Math|(''A'', ''f'')}} が以下の初期値鋭敏性を満たすとき、{{Mvar|A}} を'''ストレンジアトラクター'''と呼ぶ{{Sfn|ウィギンス|2013|pp=622&ndash;623, 626}}。

**ある {{Math|''&delta;'' > 0}} が存在し、任意の {{Math|''x'' &isin; ''A''}} と任意の近傍 {{Math|''U''(''x'')}} に対して、{{Math|{{Abs|''f''^''nk''(''x'') &minus; ''f''^''nk''(''y'')}} > ''&delta;''}} を満たす {{Math|''y'' &isin; ''U''}} と {{Math|''nk'' &isin; '''Z'''}} が存在する。

初期値鋭敏性とは、わずかな初期値の違いが時間発展にともなって次第に大きくなることを意味し、[[バタフライ効果]]という言葉としても知られる{{Sfn|合原・黒崎・高橋|1999|pp=44, 230}}。ただし、上記の初期値鋭敏性の定義は[[指数関数]]的な初期値の分離を必ずしも要求していない<ref name="金子・津田">{{Cite book ja-jp |author = 金子 邦彦・津田 一郎 |title = 複雑系のカオス的シナリオ |series = 複雑系双書1 |publisher = 朝倉書店 |year = 1996 |edition = 初版 |isbn = 4-254-10514-2 }} p. 47</ref>。現在では、指数関数的分離すなわち正の[[リアプノフ指数]]を持つことを初期値鋭敏性に要求することが多い<ref name="金子・津田"/>。

再構成の手法を使って様々な実現象の中にカオスの証拠を見出す問題が、これまでに取り組まれてきている{{Sfn|Strogatz|2015|p=482}}。再構成されたアトラクターを利用した予測も研究されている{{Sfnm|合原|1993|1pp=166&ndash;167|伊東|1993|2pp=108&ndash;109}}。カオスでは高精度な長期予測は原理的に不可能だが、同時にその振る舞いは決定論的に定まっているので、短期予測の精度向上の可能性は残されている{{Sfnm|合原|1993|1pp=158&ndash;159|合原（編）|2000|p=9}}。また、再構成されたアトラクターを応用した異常検出・モニタリング技術も研究されている{{Sfn|合原|1993|p=171}}。アトラクターの構造はそのシステムの変化に反応して変化するため、正常な状態のアトラクターと異常な状態のアトラクターを用意しておき、現在の状態をこれらと照らし合わせることで状態監視を行う{{Sfn|合原|1993|p=171}}。[[ばねじ]]<ref>{{Cite book ja-jp |author = イアン・スチュアート |translator = 須田 不二夫・三村 和男 |title = カオス的世界像 ―非定形の理論から複雑系の科学へ |url = http://www.hakuyo-sha.co.jp/science/%E3%82%AB%E3%82%AA%E3%82%B9%E7%9A%84%E4%B8%96%E7%95%8C%E5%83%8F/ |edition = 第一版 |publisher = 白揚社 |year= 1998 |isbn = 978-4-8269-0085-0 }} pp. 391&ndash;402</ref>、[[ボルト (部品)|ボルト]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 広兼 道幸, 大江 眞紀子, 小西 日出幸, 鈴木 直人 |year = 2013 |title = 鋼橋の高力ボルト軸力診断へのカオス理論の適用に関する研究 |journal = 土木学会論文集F6（安全問題） |volume = 69 |issue = 2 |publisher = 土木学会 |doi = 10.2208/jscejsp.69.I_63 |pages = I_63-I_68 }}</ref>、[[転がり軸受]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 小川 敏弘, 関口 泰久, 中川 紀壽 |year = 2003 |title = カオス時系列解析を用いた転がり軸受の異常診断 |journal = 日本機械学会九州支部講演論文集 |volume = 2003 |publisher = 日本機械学会 |doi = 10.1299/jsmekyushu.2003.35 |pages = 35-36 }}</ref>、[[ポンプ]]<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 花熊 克友, 山本 順三 |year = 1999 |title = ポンプ異常検出に対する信号解析法の検討 |journal = 化学工学論文集 |volume = 25 |issue = 6 |publisher = 化学工学会 |doi = 10.1252/kakoronbunshu.25.1033 |pages = 1033-1036 }}</ref>、{{仮リンク|化学プラント|en|Chemical plant}}<ref>{{Cite journal ja-jp |author = 花熊 克友, 中矢 一豊, 佐々木 隆志, 中西 英二 |year = 1995 |title = アトラクタと多重解像度解析による異常信号の検出法 |journal = 化学工学論文集 |volume = 21 |issue = 1 |publisher = 化学工学会 |doi = 10.1252/kakoronbunshu.21.89 |pages = 89-94 }}</ref>などを対象に、再構成されたアトラクターを応用した異常検出の研究例がある<ref>。