「円周率の無理性の証明」の版間の差分

円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは[[紀元前4世紀]]の[[アリストテレス]]が予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。[[1761年]]、[[ドイツ]]の[[数学者]][[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト|ランベルト]]は、[[三角関数|正接関数]]の無限[[連分数]]表示

を用いて、初めて円周率の無理性を示した<ref>歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 [http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf pdf ファイル]</ref>。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、[[1794年]]に[[フランス]]の[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]は厳密な証明を与え、さらに {{π}}{{sup|2}} も無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは {{π}} の無理性よりも強い結果を示した。

[[20世紀]]には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、[[カナダ]]出身の[[イヴァン・ニーベン|ニーベン]]が[[1947年]]に発表した証明<ref>Ivan Niven, ''A simple proof that &pi; is irrational'', Bulletin of the American Mathematical Society, '''53''' (1947), 509. [http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf 論文の PDF ファイル]</ref>である。それ以前の[[1945年]]にも、[[イギリス]]の{{仮リンク|メアリー・カートライト|en|Mary Cartwright}}が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後に[[ハロルド・ジェフリーズ|ジェフリーズ]]の著書に収録された<ref>Jeffreys p.268</ref>。[[1949年]]、[[日本]]の[[岩本義和]]は、ニーベンのアイデアを用いて {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの初等的な証明を与えた<ref>Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, ''A proof that {{π}}{{sup|2}} is irrational'', Journal of the Osaka Institute of Science and Technology '''1''' (1949), 147-148.</ref>。

[[1978年]]、フランスの[[ロジェ・アペリー|アペリー]]は全ての[[立方数]]の[[逆数]][[加法|和]]

が無理数であることを示した（[[アペリーの定理]]を参照）。この値は、[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]

すなわち ''ζ''(2) も無理数であることを示した。この[[極限]]は <math>\frac{\pi^2}{6}</math> に等しい、という事実をすでに[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]が示していたので（[[バーゼル問題]]を参照）、これはルジャンドルが示したことと[[同値]]である。すなわち、アペリーの証明は {{π}}{{sup|2}} が無理数であることの別証明になっている。

== Cartwright カートライトの証明 ==

Harold Jeffreys[[ハロルド・ジェフリーズ]]は、この証明法は{{仮リンク|メアリー・カートライト|en|Mary Cartwright }}が1945年にケンブリッジ大学の試験問題として出したもので，彼女はそれをどこからとったのかを明らかにしていないと書いている（注：証明の詳細については英語版の記述を見られたい）。

ルジャンドルは {{math|''π''{{sup|2}}}} が無理数であることを示したが、現在では {{mvar|π}} の[[冪乗|累乗]]は全て無理数であることが知られている（実は円周率は超越数であり，（非零有理数をべき指数とする）超越数のべき乗も超越数になるので（非零有理数をべき指数とする）円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である）。実際、ドイツの[[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]は、[[1882年]]に {{mvar|π}} が[[超越数]]であることを示した。これは、さらに一般的な[[リンデマンの定理]]<ref>[[1885年]]に[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]]が証明を簡潔にしたので、'''リンデマン–ワイエルシュトラスの定理'''とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。</ref>の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、[[ネイピア数]] {{mvar|e}}, [[2の自然対数]] {{math|log 2}}, {{math|1}} の[[三角関数|正弦]] {{math|sin 1}} などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、{{仮リンク|ユーリイ・ネステレンコ|en|Yuri Valentinovich Nesterenko}}は {{mvar|π}} と {{math|''e^π''}} が {{mathbf|Q}} 上[[体の拡大#代数性・超越性|代数的独立]]であることを示した<ref>塩川 p. 93.</ref>。この事実は、{{mvar|π}} が無理数であることや超越数であることを内包している。