「極値」の版間の差分

[[数学]]の[[実解析]]において、[[実数値関数]]の'''極値'''（きょくち、{{lang-en-short|extremum}}{{efn|複数形は{{lang|en|extrema}}}}）とは、関数の局所的な[[最大小値]]または局所的な[[最小大値]]の総称である。

関数 {{mvar|f}} を定義域の点 {{mvar|p}} のある {{mvar|ε}} [[近傍]]に制限すると値 {{math|''f''(''p'')}} がその[[最大小値]]であるとき、値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''極大小値'''（{{lang|en|local maximumminimum}}）といい、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''極大小点'''（{{lang|en|maximizingminimizing point}}）という。この条件は[[論理式 (数学)|論理式]]を用いると

\exists \varepsilon > 0,\ \forall q \in U,\ 0 < d(p, q) < \varepsilon \implies f(p) \gele f(q)

と表せる。同様に関数{{efn|値 {{mvar|fm}} を定義域の点が関数 {{mvar|pf}} の最小値であるとは値 {{mvar|&epsilon;m}} 近傍に制限すると値が[[像 (数学)|像]] {{math|''f''(''pU'')}} がその[[最小値元]]であることき値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''極小値'''（{{lang|en|local minimum}}）といい、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''極小点'''（{{lang|en|minimizing point}}）という。すなわち条件

極大小値と極小大値を総称して'''極値'''（{{lang|en|extremum}}）といい、極大小点と極小大点を総称して'''極値点'''という。

上の条件に現れる {{math|''d''(''p'', ''q'') &lt; ''&epsilon;'' &rArr; ''f''(''p'') &gele; ''f''(''q'')}} を {{math|0 &lt; ''d''(''p'', ''q'') &lt; ''&epsilon;'' &rArr; ''f''(''p'') &gtlt; ''f''(''q'')}} へ置き換えたとき、値 {{math|''f''(''p'')}} を関数 {{mvar|f}} の'''狭義の極大小値'''（{{lang|en|strict local maximumminimum}}）という。同様に'''狭義の極小大値'''（{{lang|en|strict local minimummaximum}}）も定義される。またこれらを総称して'''狭義の極値'''という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]] {{mvar|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} をとり、これが[[全微分|微分可能]]であるとする。

定義域の点 {{mvar|p}} における関数 {{mvar|f}} の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] {{
:<math|&>
\nabla;'' f''(''p'') = \bigg[\frac{\partial f}{\partial x_1}(p), \dotsc, \frac{\partial f}{\partial x_n}(p)\bigg]
</math>
が {{math|0}} であるとき、点 {{mvar|p}} を関数 {{mvar|f}} の'''停留点'''（{{lang|en|stationary point}}）あるいは'''[[臨界点 (数学)|臨界点]]'''（{{lang|en|critical point}}）といい、値 {{math|''f''(''p'')}} を'''停留値'''（{{lang|en|stationary value}}）あるいは'''臨界値'''（{{lang|en|critical value}}）という。

点 {{mvar|p}} が関数 {{mvar|f}} の極値点であるためには、点 {{mvar|p}} が関数 {{mvar|f}} の停留点であることが[[必要]]である。

[[File:Parabol-el-zy-hy-s.svg|thumb|500px|原点は関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|2}}}}, {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} すべての停留点である。関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 {{math|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}} は狭義の極小値をとる。また関数 {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 {{math|''x''{{sup|2}} &minus; ''y''{{sup|2}}}} の鞍点である。一方で関数 {{math|''x''{{sup|2}}}} の原点におけるヘッセ行列は[[正則行列|特異行列]]であり、原点で退化している。]]

{{mvar|n}} 次元[[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の[[開集合]] {{mvar|U}} 上で定義された[[実数値関数]] {{math|''f'': ''U'' &rarr; '''R'''}} をとり、これが2回[[連続微分可能]]であるとする。

関数 {{mvar|f}} の停留点 {{mvar|p}} における[[ヘッセ行列]]

\nabla^2 f(p) = \begin{bmatrix}

が[[正定値行列|正の定符号]]であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において狭義の極小値をとる{{sfn|ヨスト|2000}}。またヘッセ行列 {{math|&nabla;{{sup|2}} ''f''(''p'')}} が負の定符号であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 {{mvar|f}} は点 {{mvar|p}} において極値をとらない（このとき点 {{mvar|p}} は関数 {{mvar|f}} の[[鞍点]]と呼ばれる）。