数学 におけるシャピロの不等式 （シャピロのふとうしき、英 : Shapiro inequality ）、またはシャピロの巡回不等式 とは、ハロルド・S・シャピロ （英語版 ） 不等式 である。
n
{\displaystyle n}
自然数 、
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
x
i
+
x
i
+
1
>
0
(
i
=
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle x_{i}+x_{i+1}>0\quad (i=1,2,\dots ,n)}
であるとする。ただし、
x
n
+
1
=
x
1
,
x
n
+
2
=
x
2
{\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}}
n
{\displaystyle n}
12
{\displaystyle 12}
n
{\displaystyle n}
23
{\displaystyle 23}
のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。
∑
i
=
1
n
x
i
x
i
+
1
+
x
i
+
2
≥
n
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}
より大きな
n
{\displaystyle n}
γ
n
2
{\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}}
γ
≈
0.9891
…
{\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }
重要なケース
n
=
12
{\displaystyle n=12}
n
=
23
{\displaystyle n=23}
n
=
12
{\displaystyle n=12}
γ
{\displaystyle \gamma }
ウラジーミル・ドリンフェルト （1990年のフィールズ賞 受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる
γ
{\displaystyle \gamma }
ψ
(
0
)
{\displaystyle \psi (0)}
ψ
{\displaystyle \psi }
f
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle f(x)=e^{-x}}
g
(
x
)
=
2
e
x
+
e
x
2
{\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}}
ψ
{\displaystyle \psi }
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
凸包 になっている）。
左辺の、内部での極小値は常に
≥
n
2
{\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}}
より大きな n に対する反例
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最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、
n
=
20
{\displaystyle n=20}
x
20
=
(
1
+
5
ϵ
,
6
ϵ
,
1
+
4
ϵ
,
5
ϵ
,
1
+
3
ϵ
,
4
ϵ
,
1
+
2
ϵ
,
3
ϵ
,
1
+
ϵ
,
2
ϵ
,
1
+
2
ϵ
,
ϵ
,
1
+
3
ϵ
,
2
ϵ
,
1
+
4
ϵ
,
3
ϵ
,
1
+
5
ϵ
,
4
ϵ
,
1
+
6
ϵ
,
5
ϵ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{20}=(&1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ \\&1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )\end{aligned}}}
（ここで
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
このとき不等式の左辺は
10
−
ϵ
2
+
O
(
ϵ
3
)
{\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
次の反例は
n
=
14
{\displaystyle n=14}
x
14
=
(
0
,
42
,
2
,
42
,
4
,
41
,
5
,
39
,
4
,
38
,
2
,
38
,
0
,
40
)
{\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}
また、
n
=
25
{\displaystyle n=25}
x
25
=
(
32
,
0
,
37
,
0
,
43
,
0
,
50
,
0
,
59
,
8
,
62
,
21
,
55
,
29
,
44
,
32
,
33
,
31
,
24
,
30
,
16
,
29
,
10
,
29
,
4
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{25}=(&32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\&29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{aligned}}}
n が小さなときの証明
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n
=
2
{\displaystyle n=2}
x
1
x
2
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
=
1
≥
2
2
{\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}=1\geq {\frac {2}{2}}}
より自明である。
n
=
3
{\displaystyle n=3}
この場合をネスビットの不等式 （英語版 ）
正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式 から、
a
+
1
a
≥
2
a
⋅
1
a
=
2
{\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geq 2{\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}=2}
よって、
S
3
:=
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
1
+
x
3
x
1
+
x
2
{\displaystyle S_{3}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}}
2
S
3
=
x
3
+
x
1
x
2
+
x
3
+
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
1
+
x
2
x
3
+
x
1
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
1
+
x
2
+
x
3
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
1
x
1
+
x
2
−
3
≥
2
+
2
+
2
−
3
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}2S_{3}&={\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}\\&+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}-3\\&\geq 2+2+2-3=3\end{aligned}}}
ゆえに
S
3
≥
3
2
{\displaystyle S_{3}\geq {\frac {3}{2}}}
n
=
4
{\displaystyle n=4}
正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式 から、
1
a
+
1
b
≥
4
a
+
b
{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\geq {\frac {4}{a+b}}}
また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式 から、
b
a
+
c
b
+
d
c
+
a
d
≥
4
b
a
c
b
d
c
a
d
4
=
4
{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{c}}+{\frac {a}{d}}\geq 4{\sqrt[{4}]{{\frac {b}{a}}{\frac {c}{b}}{\frac {d}{c}}{\frac {a}{d}}}}=4}
ここで
S
4
:=
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
{\displaystyle S_{4}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}}
2
S
4
=
x
1
+
x
2
x
2
+
x
3
+
x
2
+
x
3
x
3
+
x
4
+
x
3
+
x
4
x
4
+
x
1
+
x
4
+
x
1
x
1
+
x
2
+
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
−
4
+
S
4
≥
4
+
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
−
4
+
S
4
=
x
3
x
2
+
x
3
+
x
4
x
3
+
x
4
+
x
1
x
4
+
x
1
+
x
2
x
1
+
x
2
+
x
1
x
2
+
x
3
+
x
2
x
3
+
x
4
+
x
3
x
4
+
x
1
+
x
4
x
1
+
x
2
=
(
x
1
+
x
3
)
(
1
x
2
+
x
3
+
1
x
4
+
x
1
)
+
(
x
2
+
x
4
)
(
1
x
3
+
x
4
+
1
x
1
+
x
2
)
≥
4
(
x
1
+
x
3
)
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
4
(
x
2
+
x
4
)
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
4
{\displaystyle {\begin{aligned}2S_{4}&={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&\geq 4+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\\&=(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\\&\geq {\frac {4(x_{1}+x_{3})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}+{\frac {4(x_{2}+x_{4})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\\&=4\end{aligned}}}
ゆえに
S
4
≥
4
2
{\displaystyle S_{4}\geq {\frac {4}{2}}}
参考文献
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外部リンク
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![{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{c}}+{\frac {a}{d}}\geq 4{\sqrt[{4}]{{\frac {b}{a}}{\frac {c}{b}}{\frac {d}{c}}{\frac {a}{d}}}}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0ad256b5fba83b34c8b6f420b6f9f3f0145da5)
