真理関数(しんりかんすう、:Truth function) とは、数理論理学において、真理値の各変数の変域と終集合とがそれぞれ『「真な命題」と「偽な命題」のみから成る集合』に等しいような写像である。真理関数は命題関数でもある。

定義編集

真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

  1. 真な命題を表す記号 :  
  2. 偽な命題を表す記号 :  

L   とだけから成る集合とし、n を自然数とする。そのとき、n 個の L の直積   から L への写像を n 変数の真理関数という。

主な真理関数編集

1 変数の真理関数 ¬ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、ABL の元の変数である。

 
 
 

AA∨BA∧B をそれぞれ、A否定AB との論理和AB との論理積という。n 変数の真理関数は全部で   個ある。

真理値表編集

真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。

¬ の真理値表
A A
   
   
∨ の真理値表
A B A∨B
     
     
     
     
∧ の真理値表
A B A∧B
     
     
     
     

真理値表は次のように見る。¬ の真理値表の第 1 行は 「 A =   であるとき、¬A =   である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A =  B =   であるとき、A∨B =   である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A =  B =   であるとき、A∧B =   である 」 を意味する。

真理集合編集

Fn 変数の真理関数とするとき、F(X) =   を満たす   の元 X 全体から成る集合を F真理集合といい、[F] で表わす。

 
 
 


2 つの真理関数 FG とが等しいことは、F の真理集合と G の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。

関連項目編集

参考文献編集

  1. 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。