この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "素数定数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2018年11月) |
素数定数(そすうていすう、英: prime constant)は2進法の小数点以下 n 桁目を、n が素数ならば 1、そうでなければ 0 とした実数であり、記号 ρ で表される:
(オンライン整数列大辞典の数列 A010051)
10進法では
(オンライン整数列大辞典の数列 A051006)
となる。
言い換えると、ρ は2進展開(英語版)が素数全体からなる集合
の指示関数
に対応する数である:
![{\displaystyle \rho =\sum _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ab2719ca551f4c46744daf33b02f0a7a7dd8c1)
無理数性
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ρが無理数であることは背理法を用いて容易に証明できる。
ρ の2進展開での k 桁目をr_kとする。ρが合成数とすると任意の自然数 i に対して、r_n = r_{n+ik}が N < n、に対して成立する正の整数 N と k が存在する。
素数は無限に存在するため、N < p なる素数が存在し、定義によりr_p = 1である。前述の通り、任意の i に対して r_p = r_{p+ik}である。i=pを考えると、添字は素因数分解されるため、1< k+1 に対して r_{p+ik} = r_{p+pk} = r_{p(k+1)} = 0 である。したがって、r_p ≠ r_{p(k+1)}となり、矛盾するため、ρは無理数である。
関連項目
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- 双子素数定数(英語版)(twin prime constant) ただし定義はかなり異なる。