素数定数(そすうていすう、: prime constant)は2進法の小数点以下 n 桁目を、n素数ならば 1、そうでなければ 0 とした実数であり、記号 ρ で表される:

オンライン整数列大辞典の数列 A010051

10進法では

オンライン整数列大辞典の数列 A051006

となる。

言い換えると、ρ2進展開英語版が素数全体からなる集合 指示関数 に対応する数である:

無理数性編集

ρが無理数であることは背理法を用いて容易に証明できる。

ρ の2進展開での k 桁目をr_kとする。ρが合成数とすると任意の自然数 i に対して、r_n = r_{n+ik}が N < n、に対して成立する成立する正の整数 と k が存在する。 素数は無限に存在するため、N < なる素数が存在し、定義によりr_= 1である。前述の通り、任意の i に対して r_p = r_{p+ik}である。i=pを考えると、添字は素因数分解されるため、1< k+1 に対して r_{p+ik} = r_{p+pk} = r_{p(k+1)} = 0 である。したがって、r_pr_{p(k+1)}となり、矛盾するため、ρは無理数である。

関連項目編集