論理和の消去

論理和の消去(ろんりわのしょうきょ、英: Disjunction elimination)(論理積の除去、選言削除則、$\lor$-除去則は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。この規則を用いることによって、論理式の証明から論理和を削除することができる。もし命題「$P$」から命題「$Q$」が導き出され、かつ命題「$R$」からも命題「$Q$」が導き出されるとき、「$P$もしくは$R$」のいずれかが真である場合に、「$Q$」が真となるという推論規則である。PもしくはRのうち少なくとも一方が正しく、QであるためにはPとRのうちどちらかが正しければよいから、Qは正しい、ということである。例えば、下記の例が挙げられる。

もし私が屋内にいれば、私は財布を持っている。

もし私が屋外にいれば、私は財布を持っている。

私は屋内にいるか、屋外にいるかのどちらかである。

したがって、私は財布を持っている。

この規則は、下記のように記述することができる。

${\frac {P\to Q,R\to Q,P\lor R}{\therefore Q}}$

ここで、命題「$P\to Q$」、命題「$R\to Q$」、命題「$P\lor R$」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、 命題「$Q$」を示すことができるものとされている。

形式的な記法

論理和の削除の推論規則は、シークエントの記法では、

$(P\to Q),(R\to Q),(P\lor R)\vdash Q$

と表すことができる。ここで、「$\vdash$」は、ある論理の形式体系において、命題「$Q$」が、「$P\to Q$」・「$R\to Q$」・「$P\lor R$」の論理的帰結であることを表す、メタ言語の記号である。

この推論規則はまた、命題論理における真理関数のトートロジーもしくは定理として、

$(((P\to Q)\land (R\to Q))\land (P\lor R))\to Q$

と表される。

関連項目

• 論理和
• 選言標準形