逆ガウス分布

逆ガウス分布（ぎゃく-ぶんぷ、英: inverse Gaussian distribution）は、連続確率分布の一種である。ワルド分布（英: Wald distribution）とも呼ばれる。

定義と性質編集

$[0,\infty )$ の範囲の値を取る実数の確率変数 $x$ が逆ガウス分布に従うとき、その累積分布関数は以下である。

F(x)=\Phi \left\{{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right\}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left\{-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right\}

ここで

\Phi (u)=\int _{-\infty }^{u}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right){\mathit {dz}}

であり、 $\mu >0,~\lambda >0$ がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。

f(x)=\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}\right)

期待値は $\mu$ 、分散は ${\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$ である。

$\lambda \rightarrow \infty$ で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 ${\frac {X-\mu }{\sqrt {\mu ^{3}/\lambda }}}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に近づく。

逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。