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電磁テンソルとは、電磁場相対性理論にもとづいた形式で記述したものである。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。

電磁気学
VFPt Solenoid correct2.svg


目次

定義編集

電磁場の強度(field strength) F は二階のテンソル

 

と定義される[1]。 A は相対論的な4元ベクトル電磁ポテンシャル

 

である[註 1]。 微分も相対論的な4元ベクトル

 

である。

定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。 これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E磁束密度 B の各成分に対応する。 電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって

 

 

と表される。 あるいは各成分毎に

 

 

と書くことが出来る。 具体的には

 

 

である。上付きの  

 

 

となる[註 1]。それぞれ行列の形で表せば

 

となる。

媒質中の電磁場編集

媒質中での電磁場を表す電束密度 D磁場の強度 H は二階のテンソル Gμν によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には

 

 

である[2]。Gμν はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル G と電磁場の強度 F は

 

と関係付けられる。ここで Mμν は磁化テンソルである。 その成分は誘電分極 P磁化 M である。

 

 

行列の形で表せば

 

 

である。

双対テンソル編集

完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル

 

が定義される。 具体的には

 

 

であり、行列の形で表せば

 

となる。

マクスウェルの方程式編集

電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義からBianch恒等式

 

が成り立つ。 完全反対称テンソルを用いれば

 

と表すことも出来る。 この式は添え字 σ=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ

 

 

である。

真空中の電磁場の運動方程式は

 

と表される。 ここで j は4元電流密度である。 この式は添え字 ν=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ

 

 

である。

媒質中の運動方程式編集

媒質中の運動方程式は

 

と表される。 成分ごとにそれぞれ

 

 

である。

ローレンツ力編集

電磁テンソルは、荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述した式の中に現れる。 電荷 q を持ち、相対論的な位置 z=(ct,r) を運動する荷電粒子に作用する相対論的なローレンツ力は以下のようになる。

 

p は相対論的な運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。

脚注編集

  1. ^ a b ここではミンコフスキー計量の符号を η=diag(+1,-1,-1,-1) に選んでいる。
  1. ^ ランダウ, リフシッツ 68頁
  2. ^ ジャクソン 820頁

参考文献編集

  • L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ『場の古典論』東京図書〈理論物理学教程〉、1978年。ISBN 4-489-01161-X
  • J.D.ジャクソン『電磁気学』吉岡書店〈物理学叢書〉、2003年。ISBN 4-8427-0308-3

関連項目編集