順像関手

数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手（じゅんぞうかんしゅ、英: direct image functor）とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

定義編集

f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手

f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)

は、X 上の層 F をその順像前層（direct image presheaf）

f_{*}F:U\mapsto F(f^{-1}(U))

に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f_∗(φ): f_∗(F) → f_∗(G) を導く。

Y が点であるなら、順像関手は大域切断関手（英語版）と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像（exceptional inverse image）は関手 f^!: D(Y) → D(X) である。

同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f⁻¹(U) の代わりに Y についての U と X のファイバー積（英語版）が用いられる。

順像関手は左完全（left exact）であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像（higher direct images）と呼ばれ、R^q f_∗ と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して R^q f_∗(F) は前層

U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)

に対応する層となる。

順像関手は、逆像関手（英語版）の右随伴であり、このことは任意の連続な $f:X\to Y$ およびそれぞれ X、Y 上の層である ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ に対して、自然同型

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})

が存在することを意味する。

f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f_∗ は完全である。実際、この場合 f_∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、 $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ の茎（stalk）は、 $y\in X$ なら ${\mathcal {F}}_{y}$ で、そうでないならゼロとなる（この証明には Y 内での X の近さ（英語版）が用いられる）。

Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-16389-3, MR842190 , esp. section II.4